Determine i como uma função cosseno de amplitude positiva:
Passo 1
O enunciado dá a corrente como soma de três harmônicos e pede que eu a escreva como uma única cosenoide de amplitude positiva. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
- Expressão dada:
- Objetivo: escrever
na forma
com
e
em graus (ou radianos).
Observações imediatas (dados importantes): os três termos têm a mesma frequência
, então posso somá‑los como fasores (somar as componentes no plano complexo) e obter um único coseno. O terceiro termo está em seno; vou convertê‑lo para cosseno para trabalhar com a mesma referência.
Passo 2
Converter o termo em seno para cosseno e explicar a representação fasorial.
- Identidade útil:
Logo
- Regra de conversão para fasores (explicação didática):
- Um termo
corresponde ao fasor . - Em coordenadas retangulares (eixos real e imaginário), esse fasor tem componentes
porque . - Somar sinais de mesma frequência equivale a somar suas componentes reais e imaginárias separadamente.
- Um termo
Aplicando isso aos três termos (vou anotar cada fasor e suas componentes):
- Para
: fasor . - Usando trigonometria conhecida para
: e (triângulo 3–4–5 escalado). - Então
- Usando trigonometria conhecida para
- Para
: fasor . - Valores aproximados (explicação:
é muito próximo de ; uso uma aproximação linear para não depender de tabela):
e . - Então
- Valores aproximados (explicação:
- Para
: fasor . - Usando
e :
- Usando
Resumo das componentes (valores numéricos que vou somar):
Passo 3
Somar as componentes reais e imaginárias separadamente.
- Soma das partes reais:
- Soma das partes imaginárias:
Portanto o fasor resultante é aproximadamente
(Comentário amigável: repare que as parcelas reais e imaginárias ficaram muito próximas em módulo; isso sugere um ângulo em torno de
.)
Passo 4
Calcular amplitude
e fase
do fasor resultante e explicar as fórmulas usadas.
- Fórmula para amplitude:
Substituindo os valores:
Calculei passo a passo:
- Fórmula para a fase (explicação da função atan2):
onde
dá o ângulo cujo cosseno e seno correspondem à posição
e já escolhe o quadrante correto. Aqui
e
, então o ângulo fica no quarto quadrante (negativo em graus).
Calcular:
Isto dá
e como
e
,
Portanto o fasor resultante pode ser escrito como
Passo 5
Voltar ao domínio do tempo (reconstruir a função cosseno) e escrever o resultado final com amplitude positiva.
- Regra de volta: se o fasor é
, a função no tempo é
Assim, com os valores encontrados:
onde arredondei a amplitude para duas casas decimais e a fase para dois decimais de grau. Esta é uma única cosenoide de amplitude positiva que representa exatamente (dentro das aproximações numéricas usadas) a soma original.