Determine i como uma função cosseno de amplitude positiva:
i=25 \cos \left(10 t-53,13^{\circ}\right)+13 \cos \left(10 t-22,6^{\circ}\right)+2 \operatorname{sen} 10 t

Passo 1

O enunciado dá a corrente como soma de três harmônicos e pede que eu a escreva como uma única cosenoide de amplitude positiva. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Expressão dada:
i = 25 \cos\left(10 t - 53{,}13^\circ\right) + 13 \cos\left(10 t - 22{,}6^\circ\right) + 2 \operatorname{sen} 10 t.
  • Objetivo: escrever i na forma
i = A \cos\left(10 t + \varphi\right)
com A>0 e \varphi em graus (ou radianos).
Observações imediatas (dados importantes): os três termos têm a mesma frequência \omega = 10, então posso somá‑los como fasores (somar as componentes no plano complexo) e obter um único coseno. O terceiro termo está em seno; vou convertê‑lo para cosseno para trabalhar com a mesma referência.

Passo 2

Converter o termo em seno para cosseno e explicar a representação fasorial.
  • Identidade útil:
\operatorname{sen} x = \cos\left(x - 90^\circ\right).
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2\operatorname{sen} 10 t = 2\cos\left(10 t - 90^\circ\right).
  • Regra de conversão para fasores (explicação didática):
    • Um termo \displaystyle A\cos\left(\omega t + \varphi\right) corresponde ao fasor A\angle\varphi.
    • Em coordenadas retangulares (eixos real e imaginário), esse fasor tem componentes
    X_{\text{re}} = A\cos\varphi,\qquad X_{\text{im}} = A\sin\varphi,porque A\angle\varphi = A(\cos\varphi + j\sin\varphi).
    • Somar sinais de mesma frequência equivale a somar suas componentes reais e imaginárias separadamente.
Aplicando isso aos três termos (vou anotar cada fasor e suas componentes):
  1. Para 25\cos\left(10 t - 53{,}13^\circ\right): fasor 25\angle -53{,}13^\circ.
    • Usando trigonometria conhecida para 53{,}13^\circ: \cos 53{,}13^\circ = 0{,}6 e \operatorname{sen} 53{,}13^\circ = 0{,}8 (triângulo 3–4–5 escalado).
    • Então
    X_{1,\text{re}} = 25\cos(-53{,}13^\circ)=25\cdot 0{,}6 = 15,
X_{1,\text{im}} = 25\operatorname{sen}(-53{,}13^\circ)=25\cdot(-0{,}8) = -20.
  1. Para 13\cos\left(10 t - 22{,}6^\circ\right): fasor 13\angle -22{,}6^\circ.
    • Valores aproximados (explicação: 22{,}6^\circ é muito próximo de 22{,}5^\circ; uso uma aproximação linear para não depender de tabela):
      \cos 22{,}6^\circ \approx 0{,}92321 e \operatorname{sen} 22{,}6^\circ \approx 0{,}38430.
    • Então
    X_{2,\text{re}} = 13\cos(-22{,}6^\circ)=13\cdot 0{,}92321 \approx 12{,}002,
X_{2,\text{im}} = 13\operatorname{sen}(-22{,}6^\circ)=13\cdot(-0{,}38430) \approx -4{,}996.
  1. Para 2\cos\left(10 t - 90^\circ\right): fasor 2\angle -90^\circ.
    • Usando \cos 90^\circ = 0 e \operatorname{sen} 90^\circ = 1:
    X_{3,\text{re}} = 2\cos(-90^\circ)=2\cdot 0 = 0,
X_{3,\text{im}} = 2\operatorname{sen}(-90^\circ)=2\cdot(-1) = -2.
Resumo das componentes (valores numéricos que vou somar):
\begin{aligned} X_{1} &: \quad X_{1,\text{re}} = 15,\quad X_{1,\text{im}} = -20,\\[4pt] X_{2} &: \quad X_{2,\text{re}} \approx 12{,}002,\quad X_{2,\text{im}} \approx -4{,}996,\\[4pt] X_{3} &: \quad X_{3,\text{re}} = 0,\quad X_{3,\text{im}} = -2. \end{aligned}]

Passo 3

Somar as componentes reais e imaginárias separadamente.
  • Soma das partes reais:
X_{\text{re}} = 15 + 12{,}002 + 0 = 27{,}002.
  • Soma das partes imaginárias:
X_{\text{im}} = -20 + (-4{,}996) + (-2) = -26{,}996.
Portanto o fasor resultante é aproximadamente
X \approx 27{,}002 - j\,26{,}996.
(Comentário amigável: repare que as parcelas reais e imaginárias ficaram muito próximas em módulo; isso sugere um ângulo em torno de -45^\circ.)

Passo 4

Calcular amplitude A e fase \varphi do fasor resultante e explicar as fórmulas usadas.
  • Fórmula para amplitude:
A = \sqrt{X_{\text{re}}^{2} + X_{\text{im}}^{2}}.
Substituindo os valores:
A \approx \sqrt{(27{,}002)^{2} + (-26{,}996)^{2}}.
Calculei passo a passo:
(27{,}002)^{2} = 729{,}108004,\qquad (26{,}996)^{2} = 728{,}784016,
A \approx \sqrt{729{,}108004 + 728{,}784016} = \sqrt{1\,457{,}89202} \approx 38{,}182.
  • Fórmula para a fase (explicação da função atan2):
\varphi = \operatorname{atan2}\!\left(X_{\text{im}},\,X_{\text{re}}\right),
onde \operatorname{atan2}(y,x) dá o ângulo cujo cosseno e seno correspondem à posição (x,y) e já escolhe o quadrante correto. Aqui X_{\text{re}}>0 e X_{\text{im}}<0, então o ângulo fica no quarto quadrante (negativo em graus).
Calcular:
\tan\lvert\varphi\rvert = \frac{|X_{\text{im}}|}{X_{\text{re}}} \approx \frac{26{,}996}{27{,}002} \approx 0{,}99978.
Isto dá
\lvert\varphi\rvert \approx 44{,}99^\circ,
e como X_{\text{im}}<0 e X_{\text{re}}>0,
\varphi \approx -44{,}99^\circ \approx -45{,}00^\circ.
Portanto o fasor resultante pode ser escrito como
X \approx 38{,}182 \angle -45{,}00^\circ.

Passo 5

Voltar ao domínio do tempo (reconstruir a função cosseno) e escrever o resultado final com amplitude positiva.
  • Regra de volta: se o fasor é A\angle\varphi, a função no tempo é
i = A\cos\left(10 t + \varphi\right).
Assim, com os valores encontrados:
i \approx 38{,}18 \cos\left(10 t - 45{,}00^\circ\right),
onde arredondei a amplitude para duas casas decimais e a fase para dois decimais de grau. Esta é uma única cosenoide de amplitude positiva que representa exatamente (dentro das aproximações numéricas usadas) a soma original.

Resposta

i \approx 38{,}18 \cos\left(10 t - 45{,}00^\circ\right)

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