Determine i como uma função cosseno de amplitude positiva:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pedido: escrever
como uma função cosseno com amplitude positiva. - Informação dada: a expressão
- Observações importantes que extraio do enunciado (sem resolver ainda):
- Há três termos: dois cossenos com frequências diferentes (
e rad/s) e uma constante . - Não foi pedido combinar tudo em um único cosseno de mesma frequência — se as frequências forem diferentes isso é impossível com uma só função
. Vou explicar e então reescrever cada termo como cosseno com amplitude positiva.
- Há três termos: dois cossenos com frequências diferentes (
Passo 2
Por que não dá para juntar cossenos de frequências diferentes num só cosseno.
- Regra (intuição): funções
e com oscilam em ritmos diferentes; não existe tais que
para todos
, quando
(a menos que algum coeficiente seja zero).
- Conclusão prática: se as frequências diferem (aqui
e ), devemos manter termos separados por frequência. O máximo que se pode fazer é: - reagrupar termos da mesma frequência (não há aqui),
- escrever a constante como um cosseno de frequência zero (ou seja,
), - e garantir que cada termo tenha amplitude positiva, ajustando a fase quando necessário.
Passo 3
Como transformar um termo com amplitude negativa em amplitude positiva (a identidade que vamos usar).
- Identidade trigonométrica útil:
Isto significa que um coeficiente negativo pode ser absorvido mudando a fase em
. Em graus:
- Aplicação prática: se tiver
com , então
e assim a amplitude passa a ser
com fase deslocada
.
Passo 4
Aplicando isso ao termo constante
.
- A constante
pode ser vista como um cosseno com frequência zero, porque . Em particular,
- Escrevendo explicitamente como cosseno com
:
Agora esse termo tem amplitude positiva
e fase
.
Passo 5
Reescrevendo todos os termos no formato “amplitude positiva
cosseno(ωt + fase)”.
- O primeiro termo já está com amplitude positiva e pode ser escrito com fase zero:
- O segundo termo já tem amplitude positiva:
- O terceiro termo, como visto:
- Assim, todos os termos estão agora com amplitude positiva.
Passo 6
Apresentando a forma final pedida (função cosseno com amplitudes positivas, mantendo as diferentes frequências).
- Colocando tudo junto:
- Observação final e encorajamento: como as frequências são diferentes (
, e ), não existe uma única expressão que represente para todo . O que se pediu (amplitude positiva) ficou satisfeito reescrevendo cada termo na forma padrão com amplitude positiva e fase explícita.