Determine i como uma função cosseno de amplitude positiva:
i=6 \cos 3 t+4 \cos \left(5 t-30^{\circ}\right)-4

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pedido: escrever i como uma função cosseno com amplitude positiva.
  • Informação dada: a expressão
i=6\cos 3t+4\cos\left(5t-30^\circ\right)-4.
  • Observações importantes que extraio do enunciado (sem resolver ainda):
    • Há três termos: dois cossenos com frequências diferentes ( 3 e 5 rad/s) e uma constante -4.
    • Não foi pedido combinar tudo em um único cosseno de mesma frequência — se as frequências forem diferentes isso é impossível com uma só função \cos(\omega t+\varphi). Vou explicar e então reescrever cada termo como cosseno com amplitude positiva.

Passo 2

Por que não dá para juntar cossenos de frequências diferentes num só cosseno.
  • Regra (intuição): funções \cos(\omega_1 t+\phi_1) e \cos(\omega_2 t+\phi_2) com \omega_1\neq\omega_2 oscilam em ritmos diferentes; não existe A,\omega,\varphi tais que
A\cos(\omega t+\varphi)=B_1\cos(\omega_1 t+\phi_1)+B_2\cos(\omega_2 t+\phi_2)
para todos t, quando \omega_1\neq\omega_2 (a menos que algum coeficiente seja zero).
  • Conclusão prática: se as frequências diferem (aqui 3 e 5), devemos manter termos separados por frequência. O máximo que se pode fazer é:
    • reagrupar termos da mesma frequência (não há aqui),
    • escrever a constante como um cosseno de frequência zero (ou seja, \omega=0),
    • e garantir que cada termo tenha amplitude positiva, ajustando a fase quando necessário.

Passo 3

Como transformar um termo com amplitude negativa em amplitude positiva (a identidade que vamos usar).
  • Identidade trigonométrica útil:
\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta.
Isto significa que um coeficiente negativo pode ser absorvido mudando a fase em 180^\circ. Em graus:
\cos(\theta+180^\circ)=-\cos\theta.
  • Aplicação prática: se tiver -A\cos(\omega t+\varphi) com A>0, então
-A\cos(\omega t+\varphi)=A\cos(\omega t+\varphi+180^\circ),
e assim a amplitude passa a ser A>0 com fase deslocada 180^\circ.

Passo 4

Aplicando isso ao termo constante -4.
  • A constante -4 pode ser vista como um cosseno com frequência zero, porque \cos(0\cdot t+\theta)=\cos\theta. Em particular,
-4 = 4\cdot(-1)=4\cos 180^\circ.
  • Escrevendo explicitamente como cosseno com \omega=0:
-4 = 4\cos(0\cdot t + 180^\circ).
Agora esse termo tem amplitude positiva 4 e fase 180^\circ.

Passo 5

Reescrevendo todos os termos no formato “amplitude positiva \times cosseno(ωt + fase)”.
  • O primeiro termo já está com amplitude positiva e pode ser escrito com fase zero:
6\cos 3t = 6\cos(3t + 0^\circ).
  • O segundo termo já tem amplitude positiva:
4\cos\!\left(5t-30^\circ\right).
  • O terceiro termo, como visto:
-4 = 4\cos(0\cdot t + 180^\circ).
  • Assim, todos os termos estão agora com amplitude positiva.

Passo 6

Apresentando a forma final pedida (função cosseno com amplitudes positivas, mantendo as diferentes frequências).
  • Colocando tudo junto:
i = 6\cos(3t+0^\circ) + 4\cos\!\left(5t-30^\circ\right) + 4\cos(0\cdot t + 180^\circ).
  • Observação final e encorajamento: como as frequências são diferentes ( 3, 5 e 0), não existe uma única expressão A\cos(\omega t+\varphi) que represente i para todo t. O que se pediu (amplitude positiva) ficou satisfeito reescrevendo cada termo na forma padrão com amplitude positiva e fase explícita.

Resposta

i=6\cos(3t+0^\circ)+4\cos\!\left(5t-30^\circ\right)+4\cos(0\cdot t+180^\circ)

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