Determine i como uma função cosseno de amplitude positiva:
i=5 \cos \left(6 t+30^{\circ}\right)+5 \operatorname{sen} 6 t+5 \cos \left(6 t+150^{\circ}\right);

Passo 1

O enunciado dá a função
i=5\cos\!\left(6t+30^\circ\right)+5\operatorname{sen} 6t+5\cos\!\left(6t+150^\circ\right)
e pede para escrever i como uma única função cosseno (da forma A\cos(6t+\varphi)) com amplitude positiva. Vou listar claramente o que temos:
  • Três termos harmônicos todos com a mesma frequência angular 6 (ou seja, mesmos 6t em todos);
  • Coeficientes (amplitudes) iguais a 5 em cada termo;
  • Fases: 30^\circ, para o seno termo que pode ser escrito com fase -90^\circ (veremos), e 150^\circ.
    O objetivo: somar essas três ondas de mesma frequência e obter uma única cosseno de mesma frequência.

Passo 2

Primeiro conceito útil (aula curta): para somar senos e cossenos da mesma frequência, duas formas práticas são
  1. usar identidades angulares (converter seno em cosseno com deslocamento de fase e somar como vetores de fase), ou
  2. interpretar cada termo como um fasor complexo A e^{j\varphi} e somar vetorialmente. Ambos são equivalentes; aqui vou mostrar os dois, começando pela conversão direta (mais simples para prova).
Identidade que vamos usar:
\operatorname{sen} x=\cos\!\left(x-90^\circ\right).
Isso permite escrever todo termo como cosseno com argumento 6t+ alguma fase.

Passo 3

Converter o termo em seno para cosseno:
5\operatorname{sen} 6t = 5\cos\!\left(6t-90^\circ\right).
Agora reescrevemos a soma como
i = 5\cos\!\left(6t+30^\circ\right) + 5\cos\!\left(6t-90^\circ\right) + 5\cos\!\left(6t+150^\circ\right).
Cada termo tem a forma 5\cos(6t+\phi_k) com \phi_1=30^\circ,\\ \phi_2=-90^\circ,\\ \phi_3=150^\circ.

Passo 4

Método direto com identidades (soma de cossenos pareados). Primeiro somar os termos com fases 30^\circ e 150^\circ. Use a identidade
\cos a+\cos b = 2\cos\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\!\left(\frac{a-b}{2}\right).
Aqui a=6t+30^\circ e b=6t+150^\circ. Calculando os meios:
\frac{a+b}{2} = \frac{(6t+30^\circ)+(6t+150^\circ)}{2}=6t+90^\circ,
\frac{a-b}{2} = \frac{(6t+30^\circ)-(6t+150^\circ)}{2}=\frac{-120^\circ}{2}=-60^\circ.
Portanto
\cos\!\left(6t+30^\circ\right)+\cos\!\left(6t+150^\circ\right)=2\cos\!\left(6t+90^\circ\right)\cos(-60^\circ).
Como \cos(-60^\circ)=\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}, obtemos
\cos\!\left(6t+30^\circ\right)+\cos\!\left(6t+150^\circ\right)=2\cos\!\left(6t+90^\circ\right)\cdot\dfrac{1}{2}=\cos\!\left(6t+90^\circ\right).
Multiplicando por 5 (porque cada termo tinha amplitude 5):
5\cos\!\left(6t+30^\circ\right)+5\cos\!\left(6t+150^\circ\right)=5\cos\!\left(6t+90^\circ\right).

Passo 5

Agora some esse resultado com o termo vindo do seno (já convertido):
i = 5\cos\!\left(6t+90^\circ\right) + 5\cos\!\left(6t-90^\circ\right).
Outra identidade útil: \cos(\theta+90^\circ) = -\operatorname{sen}\theta e \cos(\theta-90^\circ)=\operatorname{sen}\theta. Assim,
5\cos\!\left(6t+90^\circ\right) = -5\operatorname{sen} 6t, \qquad 5\cos\!\left(6t-90^\circ\right) = 5\operatorname{sen} 6t.
Somando,
i = -5\operatorname{sen} 6t + 5\operatorname{sen} 6t = 0.

Passo 6

Alternativa (verificação por fasores) — breve explicação didática: cada termo 5\cos(6t+\varphi) corresponde ao fasor 5e^{j\varphi}. Somando fasores:
5e^{j30^\circ}+5e^{-j90^\circ}+5e^{j150^\circ} =5\big(e^{j30^\circ}+e^{-j90^\circ}+e^{j150^\circ}\big).
Usando valores exatos:
e^{j30^\circ}=\cos30^\circ+j\sin30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}+j\frac{1}{2},
e^{-j90^\circ}=\cos(-90^\circ)+j\sin(-90^\circ)=0-j1,
e^{j150^\circ}=\cos150^\circ+j\sin150^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}+j\frac{1}{2}.
Somando as partes reais: \frac{\sqrt{3}}{2}+0-\frac{\sqrt{3}}{2}=0. Somando as partes imaginárias: \frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}=0. Logo o fasor resultante é 0, o que confirma que a soma temporal é identicamente zero.

Resposta

i=0

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