Determine i como uma função cosseno de amplitude positiva:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para escrever
como uma única função cosseno (da forma
) com amplitude positiva. Vou listar claramente o que temos:
- Três termos harmônicos todos com a mesma frequência angular
(ou seja, mesmos em todos); - Coeficientes (amplitudes) iguais a
em cada termo; - Fases:
, para o seno termo que pode ser escrito com fase (veremos), e .
O objetivo: somar essas três ondas de mesma frequência e obter uma única cosseno de mesma frequência.
Passo 2
Primeiro conceito útil (aula curta): para somar senos e cossenos da mesma frequência, duas formas práticas são
- usar identidades angulares (converter seno em cosseno com deslocamento de fase e somar como vetores de fase), ou
- interpretar cada termo como um fasor complexo
e somar vetorialmente. Ambos são equivalentes; aqui vou mostrar os dois, começando pela conversão direta (mais simples para prova).
Identidade que vamos usar:
Isso permite escrever todo termo como cosseno com argumento
alguma fase.
Passo 3
Converter o termo em seno para cosseno:
Agora reescrevemos a soma como
Cada termo tem a forma
com
.
Passo 4
Método direto com identidades (soma de cossenos pareados). Primeiro somar os termos com fases
e
. Use a identidade
Aqui
e
. Calculando os meios:
Portanto
Como
, obtemos
Multiplicando por
(porque cada termo tinha amplitude
):
Passo 5
Agora some esse resultado com o termo vindo do seno (já convertido):
Outra identidade útil:
e
. Assim,
Somando,
Passo 6
Alternativa (verificação por fasores) — breve explicação didática: cada termo
corresponde ao fasor
. Somando fasores:
Usando valores exatos:
Somando as partes reais:
. Somando as partes imaginárias:
. Logo o fasor resultante é
, o que confirma que a soma temporal é identicamente zero.