Sedra 8{ }^{\mathrm{a}} Ed. 1.53) Dois amplificadores, A e B , devem ser usados em cascata para conectar a fonte S de 10 mV e 100 \mathrm{k} \Omega à carga L de 100 \Omega. Especificações : A A_{v}=100 \mathrm{~V} / \mathrm{V}, R_{i}=100 \mathrm{k} \Omega \mathrm{e} R_{o}=10 \mathrm{k} \Omega; B: A_{v}=10 \mathrm{~V} / \mathrm{V}, R_{i}=10 \mathrm{k} \Omega e R_{o}=1 \mathrm{k} \Omega. Qual o melhor arranjo em cascata a ser utilizado, SABL ou SBAL?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • Fonte S: V_s=10\\ \mathrm{mV} e R_s=100\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Carga L: R_L=100\\ \Omega.
  • Amplificador A: A_{vA}=100\\ \mathrm{V/V}, R_{iA}=100\\ \mathrm{k}\Omega, R_{oA}=10\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Amplificador B: A_{vB}=10\\ \mathrm{V/V}, R_{iB}=10\\ \mathrm{k}\Omega, R_{oB}=1\\ \mathrm{k}\Omega.
O enunciado pede: escolher o melhor arranjo em cascata entre S-A-B- L (SABL) ou S-B-A- L (SBAL). Ou seja, qual arranjo entrega maior tensão na carga (ou, equivalentemente, maior ganho efetivo), considerando os carregamentos entre estágios.

Passo 2

Método e conceitos usados (explicação didática, com calma):
  • Cada fonte com resistência série forma um divisor com a resistência de entrada do primeiro amplificador. A tensão efetiva na entrada do primeiro estágio vale
V_{in1}=V_s\cdot\frac{R_{i1}}{R_s+R_{i1}}.
Aqui R_{i1} é a resistência de entrada do primeiro amplificador visto pela fonte.
  • O ganho ideal de um estágio é A_v, mas a tensão disponível no estágio seguinte é reduzida pelo divisor formado entre a resistência de saída do estágio anterior R_o e a resistência de entrada do estágio seguinte R_i. Se o primeiro estágio (com ganho A_{v1}) vê na sua saída a carga igual a R_{i2}, então a tensão na entrada do segundo estágio é
V_{in2}=A_{v1}\,V_{in1}\cdot\frac{R_{i2}}{R_{o1}+R_{i2}}.
  • No estágio final, a tensão na carga é a tensão de saída do último estágio atenuada pelo divisor entre R_{o,\text{last}} e R_L:
V_L=V_{out,\text{last,oc}}\cdot\frac{R_L}{R_{o,\text{last}}+R_L},
onde V_{out,\text{last,oc}}=A_{v,\text{last}}V_{in,\text{last}} é a saída sem carga.
  • Estratégia: calcular passo a passo V_L para SABL e para SBAL e comparar. Vou mostrar todas as contas sem pular etapas.

Passo 3

Calcular para o arranjo SABL (primeiro A, depois B).
  1. Tensão na entrada de A:
V_{inA}=V_s\cdot\frac{R_{iA}}{R_s+R_{iA}} =10\\ \mathrm{mV}\cdot\frac{100\\ \mathrm{k}\Omega}{100\\ \mathrm{k}\Omega+100\\ \mathrm{k}\Omega} =10\\ \mathrm{mV}\cdot\frac{1}{2}=5\\ \mathrm{mV}.
  1. Saída de A sem carga (ideal):
V_{outA,oc}=A_{vA}\,V_{inA}=100\cdot 5\\ \mathrm{mV}=500\\ \mathrm{mV}.
  1. A alimenta a entrada de B; há divisor R_{oA}=10\\ \mathrm{k}\Omega e R_{iB}=10\\ \mathrm{k}\Omega. Assim a tensão na entrada de B é
V_{inB}=V_{outA,oc}\cdot\frac{R_{iB}}{R_{oA}+R_{iB}} =500\\ \mathrm{mV}\cdot\frac{10\\ \mathrm{k}\Omega}{10\\ \mathrm{k}\Omega+10\\ \mathrm{k}\Omega} =500\\ \mathrm{mV}\cdot\frac{1}{2}=250\\ \mathrm{mV}.
  1. Saída de B sem carga:
V_{outB,oc}=A_{vB}\,V_{inB}=10\cdot 250\\ \mathrm{mV}=2500\\ \mathrm{mV}=2,5\\ \mathrm{V}.
  1. B alimenta a carga R_L=100\\ \Omega; divisor R_{oB}=1\\ \mathrm{k}\Omega e R_L:
V_L^{(\text{SABL})}=V_{outB,oc}\cdot\frac{R_L}{R_{oB}+R_L} =2,5\\ \mathrm{V}\cdot\frac{100\\ \Omega}{1000\\ \Omega+100\\ \Omega} =2,5\\ \mathrm{V}\cdot\frac{100}{1100}.
Calcule:
\frac{100}{1100}=\frac{1}{11}\quad\Rightarrow\quad V_L^{(\text{SABL})}=2,5\\ \mathrm{V}\cdot\frac{1}{11}=0,22727\\ \mathrm{V}\approx227,27\\ \mathrm{mV}.
  1. Ganho total (tensão na carga sobre V_s):
A_{eq}^{(\text{SABL})}=\frac{V_L^{(\text{SABL})}}{V_s}=\frac{0,22727\\ \mathrm{V}}{0,01\\ \mathrm{V}}=22,727\\ \mathrm{V/V}.

Passo 4

Calcular para o arranjo SBAL (primeiro B, depois A).
  1. Tensão na entrada de B (divisor entre R_s=100\\ \mathrm{k}\Omega e R_{iB}=10\\ \mathrm{k}\Omega):
V_{inB}=V_s\cdot\frac{R_{iB}}{R_s+R_{iB}} =10\\ \mathrm{mV}\cdot\frac{10\\ \mathrm{k}\Omega}{100\\ \mathrm{k}\Omega+10\\ \mathrm{k}\Omega} =10\\ \mathrm{mV}\cdot\frac{10}{110}=10\\ \mathrm{mV}\cdot\frac{1}{11}=0,90909\\ \mathrm{mV}.
  1. Saída de B sem carga:
V_{outB,oc}=A_{vB}\,V_{inB}=10\cdot 0,90909\\ \mathrm{mV}=9,0909\\ \mathrm{mV}.
  1. B alimenta A; divisor R_{oB}=1\\ \mathrm{k}\Omega e R_{iA}=100\\ \mathrm{k}\Omega:
V_{inA}=V_{outB,oc}\cdot\frac{R_{iA}}{R_{oB}+R_{iA}} =9,0909\\ \mathrm{mV}\cdot\frac{100\\ \mathrm{k}\Omega}{1\\ \mathrm{k}\Omega+100\\ \mathrm{k}\Omega} =9,0909\\ \mathrm{mV}\cdot\frac{100}{101}\approx9,0009\\ \mathrm{mV}.
(Explicação rápida: aqui a carga de A é muito maior que R_{oB}, então quase não há atenuação.)
  1. Saída de A sem carga:
V_{outA,oc}=A_{vA}\,V_{inA}=100\cdot 9,0009\\ \mathrm{mV}=900,090\\ \mathrm{mV}=0,90009\\ \mathrm{V}.
  1. A alimenta a carga R_L; divisor R_{oA}=10\\ \mathrm{k}\Omega e R_L=100\\ \Omega:
V_L^{(\text{SBAL})}=V_{outA,oc}\cdot\frac{R_L}{R_{oA}+R_L} =0,90009\\ \mathrm{V}\cdot\frac{100}{10000+100} =0,90009\\ \mathrm{V}\cdot\frac{100}{10100}.
Calcule:
\frac{100}{10100}=\frac{1}{101}\quad\Rightarrow\quad V_L^{(\text{SBAL})}=0,90009\\ \mathrm{V}\cdot\frac{1}{101}\approx0,0089108\\ \mathrm{V}\approx8,9108\\ \mathrm{mV}.
  1. Ganho total:
A_{eq}^{(\text{SBAL})}=\frac{V_L^{(\text{SBAL})}}{V_s}=\frac{0,0089108\\ \mathrm{V}}{0,01\\ \mathrm{V}}=0,89108\\ \mathrm{V/V}.

Passo 5

Comparação e interpretação (didática e resumida):
  • Para SABL encontrámos A_{eq}\approx 22,73\\ \mathrm{V/V} e V_L\approx 227{,}27\\ \mathrm{mV}.
  • Para SBAL encontrámos A_{eq}\approx 0,891\\ \mathrm{V/V} e V_L\approx 8{,}91\\ \mathrm{mV}.
  • Conclusão numérica óbvia: SABL fornece muito mais tensão na carga (cerca de 25 vezes maior).
  • Intuição física: colocar A primeiro isola melhor a fonte (pois R_{iA}=100\\ \mathrm{k}\Omega é grande frente a R_s), e colocar B por último dá uma saída com R_{oB}=1\\ \mathrm{k}\Omega menor para acoplar à carga; no arranjo contrário a etapa final tem R_{oA}=10\\ \mathrm{k}\Omega muito grande em relação a R_L=100\\ \Omega, causando forte atenuação na carga. Além disso, quando B vem antes, a fonte é muito carregada pelo R_{iB}=10\\ \mathrm{k}\Omega, reduzindo muito a tensão inicial.

Resposta

SABL

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