Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
f(x, y)=\frac{x^{3} y-x^{2} y^{2}}{(x+8 y)^{2}};

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{x^{3}y - x^{2}y^{2}}{(x+8y)^{2}}
e pede para verificar se ela é homogênea. Lembrando que uma função de duas variáveis é homogênea de grau k se vale
f(t x, t y) = t^{k}\,f(x,y)
para todo escalar t.

Passo 2

Substituímos (x,y) por (t x, t y) em f:
f(t x, t y) = \frac{(t x)^{3}(t y) - (t x)^{2}(t y)^{2}}{\bigl(t x + 8\,t y\bigr)^{2}}.

Passo 3

Agora fatoramos as potências de t em numerador e denominador:
O numerador fica
(t x)^{3}(t y) - (t x)^{2}(t y)^{2} = t^{4}\bigl(x^{3}y - x^{2}y^{2}\bigr),
e o denominador
\bigl(t x + 8\,t y\bigr)^{2} = t^{2}(x + 8y)^{2}.

Passo 4

Dividindo numerador e denominador, obtemos
f(t x, t y) = \frac{t^{4}\bigl(x^{3}y - x^{2}y^{2}\bigr)}{t^{2}(x + 8y)^{2}} = t^{2}\;\frac{x^{3}y - x^{2}y^{2}}{(x + 8y)^{2}} = t^{2}\,f(x,y).

Passo 5

Como f(t x,t y)=t^{2}f(x,y), concluímos que f é homogênea de grau 2.

Resposta

A função é homogênea de grau 2.

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