Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1}, \quad y(2)=2;

Passo 1

Estamos diante da equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1}
com condição inicial y(2)=2. O conteúdo aqui é de equações de variáveis separáveis: vamos isolar em cada lado os termos que envolvem y e x, respectivamente.

Passo 2

Separemos as variáveis escrevendo
\frac{dy}{y^{2}-1}=\frac{dx}{x^{2}-1}.
Isso é possível sempre que a razão entre funções de y e funções de x puder ser escrita como produto de uma função só de y por uma só de x.

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais em
\frac{1}{y^{2}-1}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}\Bigr).
Assim,
\int\frac{dy}{y^{2}-1} =\frac{1}{2}\int\Bigl(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}\Bigr)dy =\frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{y-1}{y+1}\Bigr|+C_{1}.

Passo 4

O lado direito é análogo, pois
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\Bigr),
logo
\int\frac{dx}{x^{2}-1} =\frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr|+C_{2}.

Passo 5

Igualando as primitivadas e agrupando a constante em uma só C, obtemos
\frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{y-1}{y+1}\Bigr| =\frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr|+C \quad\Longrightarrow\quad \ln\Bigl|\frac{y-1}{y+1}\Bigr| =\ln\Bigl|C\frac{x-1}{x+1}\Bigr|.
Elevando exponencial, surge a forma implícita
\frac{y-1}{y+1} =K\;\frac{x-1}{x+1},
onde K=e^{2C} é constante real.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(2)=2. No lado esquerdo, (2-1)/(2+1)=1/3; no direito, (2-1)/(2+1)=1/3 também. Logo
\frac{1}{3}=K\cdot\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad K=1.
Assim a solução implícita fica
\frac{y-1}{y+1}=\frac{x-1}{x+1}.

Passo 7

Para encontrar y em função de x, cruzamos produtos:
(y-1)(x+1)=(x-1)(y+1).
Expandindo e simplificando, chega-se a
y\,x + y - x - 1 = y\,x + x - y - 1 \quad\Longrightarrow\quad y - x = x - y \quad\Longrightarrow\quad 2y=2x \quad\Longrightarrow\quad y=x.
Verificamos que y(x)=x satisfaz a ODE e a condição inicial (para x\neq\pm1, especialmente x>1 na vizinhança de 2).

Resposta

A solução que satisfaz y(2)=2 é
y(x)=x,\quad x>1.

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