Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. \frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1}, \quad y(2)=2;
Passo 1
Estamos diante da equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1}
com condição inicial y(2)=2. O conteúdo aqui é de equações de variáveis separáveis: vamos isolar em cada lado os termos que envolvem y e x, respectivamente.
Passo 2
Separemos as variáveis escrevendo
\frac{dy}{y^{2}-1}=\frac{dx}{x^{2}-1}.
Isso é possível sempre que a razão entre funções de y e funções de x puder ser escrita como produto de uma função só de y por uma só de x.
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais em