Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
f(x, y)=x^{3}+2 x y^{2}-y^{4} / x;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x^{3}+2\,x\,y^{2}-\frac{y^{4}}{x}
é homogênea e, em caso afirmativo, determinar seu grau. Lembrando que f é homogênea de grau k se, para todo t\neq0,
f(t x,t y)=t^{k}\,f(x,y).

Passo 2

Calculemos f(t x,t y):
f(t x,t y) =(t x)^{3}+2\,(t x)\,(t y)^{2}-\frac{(t y)^{4}}{t x}.
Agora simplificamos cada termo:
(t x)^{3}=t^{3}x^{3},
2\,(t x)\,(t y)^{2}=2\,t^{3}x\,y^{2},
\frac{(t y)^{4}}{t x} =\frac{t^{4}y^{4}}{t x} =t^{3}\,\frac{y^{4}}{x}.

Passo 3

Juntando os termos temos
f(t x,t y) = t^{3}x^{3} +2\,t^{3}x\,y^{2}-t^{3}\,\frac{y^{4}}{x} = t^{3}\bigl(x^{3}+2\,x\,y^{2}-\tfrac{y^{4}}{x}\bigr) = t^{3}\,f(x,y).

Resposta

A função é homogênea de grau 3.

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