Utilize a Definiçõ de derivada para calcular o limite indicado.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a expressão do limite é
e a variável que tende a zero é
. Não há outras condições explícitas.
Passo 2
Definição de derivada (a ferramenta que o enunciado pede para usar): para uma função
e um ponto
, a derivada de
em
é
desde que esse limite exista. Aqui
é a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
. Na expressão,
é um pequeno incremento em
;
é o valor da função quando
é
;
é o valor da função em
.
Passo 3
Identificação do problema com a definição: observe que
Se definirmos
e
, então
ou seja,
. Portanto o limite pedido é
Passo 4
Cálculo de
diretamente (usando identificação direta com limites trigonométricos): precisamos avaliar
Usamos a identidade trigonométrica
Substituindo,
Reescrevemos isolando o quociente clássico
. Note que
Portanto
Agora usamos o limite clássico (que você deve ter decorado e que pode ser justificado geometricamente):
Aplicando isso com
obtemos
quando
. Então, ao tomar limite em
,
Logo
.
Passo 5
Concluímos o limite original multiplicando por
: