Utilize a Definiçõ de derivada para calcular o limite indicado.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{4 \cos h-4}{h}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{4\cos h-4}{h}.
Informações dadas: a expressão do limite é \frac{4\cos h-4}{h} e a variável que tende a zero é h. Não há outras condições explícitas.

Passo 2

Definição de derivada (a ferramenta que o enunciado pede para usar): para uma função f e um ponto a, a derivada de f em a é
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
desde que esse limite exista. Aqui f'(a) é a inclinação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto x=a. Na expressão, h é um pequeno incremento em x; f(a+h) é o valor da função quando x é a+h; f(a) é o valor da função em a.

Passo 3

Identificação do problema com a definição: observe que
\frac{4\cos h-4}{h}=4\cdot\frac{\cos h-1}{h}.
Se definirmos f(x)=\cos x e a=0, então
\frac{\cos h-1}{h}=\frac{f(0+h)-f(0)}{h},
ou seja, \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=f'(0). Portanto o limite pedido é
\lim_{h\to 0}\frac{4\cos h-4}{h}=4\cdot f'(0).

Passo 4

Cálculo de f'(0) diretamente (usando identificação direta com limites trigonométricos): precisamos avaliar
\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}.
Usamos a identidade trigonométrica
\cos h-1=-2\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right).
Substituindo,
\frac{\cos h-1}{h}=-2\cdot\frac{\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right)}{h}.
Reescrevemos isolando o quociente clássico \frac{\sin u}{u}. Note que
\frac{\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right)}{h}=\left(\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\right)^2\cdot\frac{\left(\frac{h}{2}\right)^2}{h}.
Portanto
\frac{\cos h-1}{h}=-2\left(\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\right)^2\cdot\frac{h}{4}.
Agora usamos o limite clássico (que você deve ter decorado e que pode ser justificado geometricamente):
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Aplicando isso com u=\frac{h}{2} obtemos \displaystyle\frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\to 1 quando h\to 0. Então, ao tomar limite em h\to 0,
\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=-2\cdot 1^2\cdot 0=0.
Logo f'(0)=0.

Passo 5

Concluímos o limite original multiplicando por 4:
\lim_{h\to 0}\frac{4\cos h-4}{h}=4\cdot f'(0)=4\cdot 0=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados