Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\ell n\left(a x^{2}+b x+c\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\ln\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)
e pede sua derivada. O conteúdo é derivadas de funções compostas, usando a regra da cadeia e a derivada de \ln(u).

Passo 2

Identificamos a função interna
u(x)=a x^{2}+b x+c
e a função externa
g(u)=\ln(u).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos a derivada da interna:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)=2a x+b.

Passo 4

Sabendo que
g'(u)=\frac{d}{du}\ln(u)=\frac{1}{u},
temos
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{2a x+b}{a x^{2}+b x+c}.

Resposta

f'(x)=\frac{2a x+b}{a x^{2}+b x+c}.

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