Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\ell n \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = \ln\bigl(\sin x\bigr)
e pede a sua derivada f'(x). Vamos usar a regra da cadeia, sabendo a derivada de \ln(u) e de \sin x.

Passo 2

Lembramos que, para uma função composta f(x)=\ln(u(x)), vale
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Aqui identificamos
u(x)=\sin x \qquad\text{e, portanto}\qquad u'(x)=\cos x.

Passo 4

Aplicando a fórmula da regra da cadeia, obtemos
f'(x) =\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{\cos x}{\sin x} =\cot x.

Resposta

f'(x)=\cot x.

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