Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=(a x+b) \cdot \ell n x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = (a\,x + b)\,\ln x
Aqui vamos usar a regra do produto (derivada de u\cdot v) e a derivada de \ln x.

Passo 2

Definimos
u(x) = a\,x + b
v(x) = \ln x
pela regra do produto temos
(f(x))' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
u'(x) = a,
v'(x) = \frac{1}{x}.

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra do produto:
f'(x) = a \,\ln x + (a\,x + b)\,\frac{1}{x}.

Passo 5

Bastathora simplificar o segundo termo:
(a\,x + b)\,\frac{1}{x} = a + \frac{b}{x}.
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f'(x) = a\,\ln x + a + \frac{b}{x}.

Resposta

f'(x) = a\,\ln x + a + \frac{b}{x}.

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