Determine a função de distribuição da v.a. X, sendo sua função densidade de probabilidade dada a seguir:
f(x)=\frac{1}{2} e^{-|x|} para todo x real.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade
f(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|},\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
e pede para determinar a função de distribuição acumulada (CDF) F da variável aleatória X.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A densidade é \displaystyle f(x)=\tfrac{1}{2}e^{-|x|} para todo x\in\mathbb{R}.
  • A função de distribuição F é, por definição, F(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar o que é a função de distribuição F\). Por definição, \[F(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Isto significa que, para cada valor de x, precisamos calcular a integral imprópria da densidade desde -\infty até x. Como aqui a densidade envolve |t|, convém lembrar a forma peça‑por‑peça do valor absoluto:
|t|=\begin{cases} -t, & t<0,\\[4pt] t, & t\ge 0. \end{cases}
Portanto, a expressão de f(t)\] muda em \(t=0. Isso indica que devemos separar o cálculo de F(x) em casos: x<0 e x\ge 0. Vou explicar passo a passo como avaliar cada integral.]

Passo 3

Caso 1: x<0. Nesse caso todo o intervalo de integração (-\infty,x] está em números negativos, então para t nesse intervalo temos |t|=-t e
f(t)=\frac{1}{2}e^{-|t|}=\frac{1}{2}e^{t}.
Assim
F(x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2}e^{t}\,dt.
Agora precisamos integrar a exponencial. A primitiva de e^{t} é e^{t}. Mais precisamente, a primitiva de \tfrac{1}{2}e^{t} é \tfrac{1}{2}e^{t}. Então avaliamos a integral imprópria:
F(x)=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{x}\frac{1}{2}e^{t}\,dt =\lim_{a\to-\infty}\left[\frac{1}{2}e^{t}\right]_{t=a}^{t=x} =\lim_{a\to-\infty}\left(\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{a}\right).
Como \displaystyle\lim_{a\to-\infty}e^{a}=0, obtemos
F(x)=\frac{1}{2}e^{x},\qquad\text{para }x<0.

Passo 4

Caso 2: x\ge 0. Agora o ponto 0 está dentro do intervalo (-\infty,x], então devemos dividir a integral em duas partes: de -\infty a 0 (onde t<0) e de 0 a x (onde t\ge 0). Assim
F(x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2}e^{-|t|}\,dt =\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{2}e^{-|t|}\,dt+\int_{0}^{x}\frac{1}{2}e^{-|t|}\,dt.
Para t<0 temos |t|=-t e f(t)=\tfrac{1}{2}e^{t}. Para t\ge 0 temos |t|=t e f(t)=\tfrac{1}{2}e^{-t}. Então calculamos cada integral separadamente.

Passo 5

Calcule a primeira integral (de -\infty a 0):
\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{2}e^{t}\,dt =\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\frac{1}{2}e^{t}\,dt =\lim_{a\to-\infty}\left[\frac{1}{2}e^{t}\right]_{t=a}^{t=0} =\frac{1}{2}e^{0}-\lim_{a\to-\infty}\frac{1}{2}e^{a} =\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}.

Passo 6

Calcule a segunda integral (de 0 a x, com x\ge 0):
\int_{0}^{x}\frac{1}{2}e^{-t}\,dt =\left[\,-\frac{1}{2}e^{-t}\right]_{t=0}^{t=x} =-\frac{1}{2}e^{-x}-\big(-\frac{1}{2}e^{0}\big) =-\frac{1}{2}e^{-x}+\frac{1}{2} =\frac{1}{2}\big(1-e^{-x}\big).
Somando as duas partes:
F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\big(1-e^{-x}\big)=1-\frac{1}{2}e^{-x},\qquad\text{para }x\ge 0.

Passo 7

Fizemos as duas peças. É bom verificar rapidamente que a função encontrada é contínua em x=0 e tem os limites corretos:
\lim_{x\to 0^-}F(x)=\frac{1}{2}e^{0}=\frac{1}{2}, \qquad \lim_{x\to 0^+}F(x)=1-\frac{1}{2}e^{0}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},
logo F é contínua em 0. Também
\lim_{x\to -\infty}F(x)=0,\qquad \lim_{x\to +\infty}F(x)=1,
como deve ser uma CDF. Além disso, diferenciando F peça‑por‑peça volta-se a obter f, o que confirma a coerência.

Resposta

F(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}e^{x}, & x<0,\\[8pt] 1-\dfrac{1}{2}e^{-x}, & x\ge 0. \end{cases}]

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