Determine a função de distribuição da v.a.
, sendo sua função densidade de probabilidade dada a seguir:
para todo
real.
Passo 1
O enunciado dá a densidade de probabilidade
e pede para determinar a função de distribuição acumulada (CDF)
da variável aleatória
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- •A densidade é
para todo . - •A função de distribuição
é, por definição, .
Passo 2
Vamos lembrar e explicar o que é a função de distribuição
Isto significa que, para cada valor de
, precisamos calcular a integral imprópria da densidade desde
até
. Como aqui a densidade envolve
, convém lembrar a forma peça‑por‑peça do valor absoluto:
Portanto, a expressão de
. Isso indica que devemos separar o cálculo de
em casos:
e
. Vou explicar passo a passo como avaliar cada integral.]
Passo 3
Caso 1:
. Nesse caso todo o intervalo de integração
está em números negativos, então para
nesse intervalo temos
e
Assim
Agora precisamos integrar a exponencial. A primitiva de
é
. Mais precisamente, a primitiva de
é
. Então avaliamos a integral imprópria:
Como
, obtemos
Passo 4
Caso 2:
. Agora o ponto
está dentro do intervalo
, então devemos dividir a integral em duas partes: de
a
(onde
) e de
a
(onde
). Assim
Para
temos
e
. Para
temos
e
. Então calculamos cada integral separadamente.
Passo 5
Calcule a primeira integral (de
a
):
Passo 6
Calcule a segunda integral (de
a
, com
):
Somando as duas partes:
Passo 7
Fizemos as duas peças. É bom verificar rapidamente que a função encontrada é contínua em
e tem os limites corretos:
logo
é contínua em
. Também
como deve ser uma CDF. Além disso, diferenciando
peça‑por‑peça volta-se a obter
, o que confirma a coerência.