Determine k para que a função dada seja uma função densidade de probabilidade:
f(x)=\frac{k}{x^{3}} para x \geq 1 e f(x)=0 para x<1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{k}{x^{3}}, & x\geq 1,\\[6pt] 0, & x<1, \end{cases}
e pede: determinar k para que f seja uma função densidade de probabilidade.]

Passo 2

Para ser uma função densidade de probabilidade é preciso satisfazer duas condições:
  1. f(x)\geq 0 para todo x\in\mathbb{R}.
  2. A integral de f em toda a reta é 1, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui, como x^{3}>0 para x\geq 1, a condição f(x)\geq 0 reduz-se a exigir que k\geq 0. A parte mais importante é impor a normalização pela integral; vamos fazer isso.

Passo 3

Como f(x)=0 para x<1, a integral em toda a reta reduz-se à integral imprópria de k/x^{3} de 1 a +\infty. Então devemos ter
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{1}^{\infty} \frac{k}{x^{3}}\,dx = 1.

Passo 4

Para calcular a integral usamos a regra da primitiva para potências: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-3, logo
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^{2}} + C.

Passo 5

Aplicando essa primitiva na integral imprópria e lembrando que é preciso tomar o limite quando o extremo superior vai a +\infty, temos
\int_{1}^{\infty} \frac{k}{x^{3}}\,dx = k\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b} x^{-3}\,dx = k\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{1}^{b}.
Agora avaliamos os termos:
\left[-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{1}^{b} = -\frac{1}{2b^{2}} -\biggl(-\frac{1}{2\cdot 1^{2}}\biggr) = -\frac{1}{2b^{2}} + \frac{1}{2}.
Tomando b\to\infty o termo -\frac{1}{2b^{2}} vai a 0, então
\int_{1}^{\infty} \frac{k}{x^{3}}\,dx = k\cdot\frac{1}{2} = \frac{k}{2}.

Passo 6

Impondo a normalização \dfrac{k}{2}=1 obtemos
k=2.
Verificamos também a condição de não-negatividade: com k=2 temos f(x)=2/x^{3}\geq 0 para x\geq 1, portanto tudo está OK.

Resposta

k=2

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