Determine a função de distribuição da v.a. X, sendo sua função densidade de probabilidade dada a seguir:
f(x)=\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} para x \geq 0 e f(x)=0 para x<0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a função de distribuição (CDF) da variável aleatória X.
Informações dadas no enunciado:
  • A função densidade de probabilidade é \displaystyle f(x)=\frac{1}{2}e^{-x/2} para x\ge 0.
  • Para x<0, temos \displaystyle f(x)=0.
  • Queremos encontrar a função de distribuição acumulada F_X(x)=P(X\le x) para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Definição usada (muito importante): a função de distribuição acumulada F_X(x) de uma v.a. contínua com densidade f é dada por
F_X(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Aqui t é a variável de integração (apenas um nome local) e x é o ponto onde queremos o valor da CDF. Vamos aplicar essa definição ao nosso f.

Passo 3

Primeiro caso: x<0.
Como o enunciado diz que f(t)=0 para todo t<0, a integral de -\infty até x (com x<0) é nula:
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt=0\qquad\text{para }x<0.
Isso faz sentido intuitivamente: a densidade está concentrada só em t\ge 0, então a probabilidade de X ser menor que um número negativo é zero.

Passo 4

Segundo caso: x\ge 0.
Para x\ge 0 podemos dividir a integral em duas partes e usar que f(t)=0 para t<0:
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt=\int_{-\infty}^{0} f(t)\,dt+\int_{0}^{x} f(t)\,dt = 0+\int_{0}^{x} \frac{1}{2}e^{-t/2}\,dt.
Portanto precisamos calcular a integral
\int_{0}^{x} \frac{1}{2}e^{-t/2}\,dt.

Passo 5

Cálculo da integral (mostrando passo a passo).
Observe que uma primitiva de \displaystyle \frac{1}{2}e^{-t/2} é -e^{-t/2}, porque
\frac{d}{dt}\bigl(-e^{-t/2}\bigr) = -\bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-t/2}\bigr)=\tfrac{1}{2}e^{-t/2}.
Assim,
\int_{0}^{x} \frac{1}{2}e^{-t/2}\,dt = \bigl[-e^{-t/2}\bigr]_{t=0}^{t=x} = \bigl(-e^{-x/2}\bigr)-\bigl(-e^{0}\bigr)=1-e^{-x/2}.

Passo 6

Conferência rápida das propriedades importantes:
  • Para x<0 obtivemos F_X(x)=0.
  • Para x\ge 0 obtivemos F_X(x)=1-e^{-x/2}.
  • Em x=0 temos F_X(0)=1-e^{0}=0, logo a função é contínua em 0.
  • Quando x\to\infty, e^{-x/2}\to 0 e F_X(x)\to 1, como deve ser para uma CDF.

Resposta

F_X(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[6pt] 1-e^{-x/2}, & x\ge 0. \end{cases}]

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