Determine a função de distribuição da v.a.
, sendo sua função densidade de probabilidade dada a seguir:
para
e
para
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a função de distribuição (CDF) da variável aleatória
.
Informações dadas no enunciado:
Informações dadas no enunciado:
- A função densidade de probabilidade é
para . - Para
, temos . - Queremos encontrar a função de distribuição acumulada
para todo .
Passo 2
Definição usada (muito importante): a função de distribuição acumulada
de uma v.a. contínua com densidade
é dada por
Aqui
é a variável de integração (apenas um nome local) e
é o ponto onde queremos o valor da CDF. Vamos aplicar essa definição ao nosso
.
Passo 3
Primeiro caso:
.
Como o enunciado diz que
para todo
, a integral de
até
(com
) é nula:
Isso faz sentido intuitivamente: a densidade está concentrada só em
, então a probabilidade de
ser menor que um número negativo é zero.
Passo 4
Segundo caso:
.
Para
podemos dividir a integral em duas partes e usar que
para
:
Portanto precisamos calcular a integral
Passo 5
Cálculo da integral (mostrando passo a passo).
Observe que uma primitiva de
é
, porque
Assim,
Passo 6
Conferência rápida das propriedades importantes:
- Para
obtivemos . - Para
obtivemos . - Em
temos , logo a função é contínua em . - Quando
, e , como deve ser para uma CDF.