Determine se a função
é par, ímpar ou nenhum dos dois. Use a simetria para esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar se
é par, ímpar ou nenhum dos dois. - Usar a simetria para esboçar o gráfico de
.
As informações relevantes que temos: a fórmula explícita de
. Não há outras restrições (domínio é todo
). Vamos atacar primeiro a classificação por paridade e depois usar essa informação para guiar o esboço do gráfico.
Passo 2
Primeiro uma mini-aula sobre paridade de funções (o ferramental que você usa na prova).
Definições:
- Uma função
é par se, para todo do domínio, vale . Geometricamente: simetria em relação ao eixo . - Uma função
é ímpar se, para todo do domínio, vale . Geometricamente: simetria em relação à origem (rotação de em torno da origem).
Como testar na prática: calcular
e comparar com
. Exemplos rápidos para fixar:
-
é par porque . -
é ímpar porque .
Passo 3
Vamos calcular
passo a passo substituindo
no lugar de
:
Usando as regras de potências e sinais:
Portanto
Agora fatorando um sinal:
Passo 4
Da igualdade
concluímos, pela definição, que
é uma função ímpar.
Implicação prática para o esboço: o gráfico de
tem simetria em relação à origem. Ou seja, se
pertence ao gráfico, então
também pertence. Para desenhar, basta traçar a parte para
(ou para
) e refletir pelo ponto
.
Passo 5
Agora vamos extrair os pontos e as características principais que ajudam a esboçar o gráfico de maneira precisa (tudo isso vai ajudar a desenhar sem erro na prova).
Zeros:
Logo os zeros são
,
e
. Note que, por ser ímpar, os zeros estão simetricamente distribuídos.
Derivada (para encontrar extremos e monotonia):
Soluções de
:
Esses são pontos críticos:
e
. Como
é ímpar, os valores de
nesses pontos também serão opostos.
Avaliar
nesses pontos (calcule devagar na prova):
Numericamente
.
Pelo fato de ser ímpar,
Pelo fato de
Sinais de
(monotonia):
- Para
, tem-se então : função decrescente nesse intervalo. - Para
, tem-se então : função crescente nesses intervalos.
Conclusão sobre extremos:
- Em
há um máximo local de altura . - Em
há um mínimo local de altura .
Segunda derivada e inflexão:
Temos
e, de fato,
é ponto de inflexão (o sinal de
muda de negativo para positivo passando por
). Isso é compatível com a simetria ímpar: o ponto de inflexão está na origem.
Comportamento para grandes
:
O termo de maior grau é , então quando
temos
e quando
temos
. Isso dá a cauda do gráfico (forma cúbica clássica).
O termo de maior grau é
Alguns pontos numéricos úteis para marcar:
Passo 6
Como desenhar o esboço usando a simetria (passo-a-passo prático para a prova):
- Desenhe eixos coordenados.
- Marque os zeros em
, e . - Marque o ponto de máximo local em
. - Marque o ponto de mínimo local em
. - Marque um ponto na cauda, por exemplo
e seu simétrico . - Desenhe uma curva suave que:
- sobe para
à direita, - passa por
, desce até o mínimo em , sobe passando pela origem com inclinação (ou seja, passando levemente descendente pelo origin; atenção: mesmo com a simetria ímpar garante a forma correta), - continua até o máximo em
e depois decresce para à esquerda, - obedecendo a simetria em relação à origem (o ramo à esquerda é a rotação de
do ramo à direita).
Esse desenho resulta na clássica “S” assimétrica de um cúbico ímpar, centrado na origem.
- sobe para
Passo 7
Resumo final e incentivo rápido: a verificação algébrica
prova que
é ímpar. Use sempre essa estratégia na prova: substituir
, simplificar e comparar. Para o esboço, marque zeros, extremos e alguns pontos de cauda e aplique a simetria em relação à origem — isso garante um desenho correto e rápido.
Resposta
Ímpar
Gráfico: cúbico com simetria em relação à origem; zeros em ; máximo local em
e mínimo local em
.
Gráfico: cúbico com simetria em relação à origem; zeros em