Determine se a função f é par, ímpar ou nenhum dos dois. Use a simetria para esboçar o gráfico.
f(x)=x^{3}-x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-x e pede duas coisas:
  • Determinar se f é par, ímpar ou nenhum dos dois.
  • Usar a simetria para esboçar o gráfico de f.
As informações relevantes que temos: a fórmula explícita de f. Não há outras restrições (domínio é todo \mathbb{R}). Vamos atacar primeiro a classificação por paridade e depois usar essa informação para guiar o esboço do gráfico.

Passo 2

Primeiro uma mini-aula sobre paridade de funções (o ferramental que você usa na prova).
Definições:
  • Uma função g é par se, para todo x do domínio, vale g(-x)=g(x). Geometricamente: simetria em relação ao eixo y.
  • Uma função g é ímpar se, para todo x do domínio, vale g(-x)=-g(x). Geometricamente: simetria em relação à origem (rotação de 180^\circ em torno da origem).
Como testar na prática: calcular f(-x) e comparar com f(x). Exemplos rápidos para fixar:
  • x^2 é par porque (-x)^2=x^2.
  • x^3 é ímpar porque (-x)^3=-x^3.

Passo 3

Vamos calcular f(-x) passo a passo substituindo -x no lugar de x:
f(-x)=(-x)^{3}-(-x).
Usando as regras de potências e sinais:
(-x)^{3} = -x^{3}\quad\text{(potência ímpar preserva o sinal)},\qquad -(-x)=+x.êí
Portanto
f(-x) = -x^{3} + x.
Agora fatorando um sinal:
f(-x) = -(x^{3}-x) = -f(x).

Passo 4

Da igualdade f(-x)=-f(x) concluímos, pela definição, que f é uma função ímpar.
Implicação prática para o esboço: o gráfico de f tem simetria em relação à origem. Ou seja, se (a,b) pertence ao gráfico, então (-a,-b) também pertence. Para desenhar, basta traçar a parte para x\ge 0 (ou para x\le 0) e refletir pelo ponto O=(0,0).

Passo 5

Agora vamos extrair os pontos e as características principais que ajudam a esboçar o gráfico de maneira precisa (tudo isso vai ajudar a desenhar sem erro na prova).
Zeros:
f(x)=x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1).
Logo os zeros são x=-1, x=0 e x=1. Note que, por ser ímpar, os zeros estão simetricamente distribuídos.
Derivada (para encontrar extremos e monotonia):
f'(x)=3x^{2}-1.
Soluções de f'(x)=0:
3x^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
Esses são pontos críticos: x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} e x=+\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Como f é ímpar, os valores de f nesses pontos também serão opostos.
Avaliar f nesses pontos (calcule devagar na prova):
f\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3}-\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{1}{3\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{1-3}{3\sqrt{3}}=-\frac{2}{3\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{9}.
Numericamente \displaystyle f\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx -0,385.
Pelo fato de f ser ímpar,
f\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=+\frac{2\sqrt{3}}{9}\approx +0,385.
Sinais de f' (monotonia):
  • Para |x|<\dfrac{1}{\sqrt{3}}, tem-se 3x^{2}-1<0 então f'\!<0: função decrescente nesse intervalo.
  • Para |x|>\dfrac{1}{\sqrt{3}}, tem-se 3x^{2}-1>0 então f'\!>0: função crescente nesses intervalos.
Conclusão sobre extremos:
  • Em x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} há um máximo local de altura +\dfrac{2\sqrt{3}}{9}.
  • Em x=+\dfrac{1}{\sqrt{3}} há um mínimo local de altura -\dfrac{2\sqrt{3}}{9}.
Segunda derivada e inflexão:
f''(x)=6x.
Temos f''(0)=0 e, de fato, x=0 é ponto de inflexão (o sinal de f'' muda de negativo para positivo passando por 0). Isso é compatível com a simetria ímpar: o ponto de inflexão está na origem.
Comportamento para grandes |x|:
O termo de maior grau é x^{3}, então quando x\to+\infty temos f(x)\to+\infty e quando x\to-\infty temos f(x)\to-\infty. Isso dá a cauda do gráfico (forma cúbica clássica).
Alguns pontos numéricos úteis para marcar:
f(0)=0,\quad f(1)=0,\quad f(-1)=0,\quad f(2)=8-2=6,\quad f(-2)=-8+2=-6.

Passo 6

Como desenhar o esboço usando a simetria (passo-a-passo prático para a prova):
  1. Desenhe eixos coordenados.
  2. Marque os zeros em x=-1, x=0 e x=1.
  3. Marque o ponto de máximo local em \displaystyle\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)\approx(-0,577,\;0,385).
  4. Marque o ponto de mínimo local em \displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)\approx(0,577,\;-0,385).
  5. Marque um ponto na cauda, por exemplo (2,6) e seu simétrico (-2,-6).
  6. Desenhe uma curva suave que:
    • sobe para +\infty à direita,
    • passa por (1,0), desce até o mínimo em x=+\tfrac{1}{\sqrt{3}}, sobe passando pela origem com inclinação f'(0)=-1 (ou seja, passando levemente descendente pelo origin; atenção: mesmo com f'(0)=-1 a simetria ímpar garante a forma correta),
    • continua até o máximo em x=-\tfrac{1}{\sqrt{3}} e depois decresce para -\infty à esquerda,
    • obedecendo a simetria em relação à origem (o ramo à esquerda é a rotação de 180^\circ do ramo à direita).
      Esse desenho resulta na clássica “S” assimétrica de um cúbico ímpar, centrado na origem.

Passo 7

Resumo final e incentivo rápido: a verificação algébrica f(-x)=-f(x) prova que f é ímpar. Use sempre essa estratégia na prova: substituir -x, simplificar e comparar. Para o esboço, marque zeros, extremos e alguns pontos de cauda e aplique a simetria em relação à origem — isso garante um desenho correto e rápido.

Resposta

Ímpar
Gráfico: cúbico com simetria em relação à origem; zeros em -1,0,1; máximo local em \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\right) e mínimo local em \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\right).

Exercícios relacionados