Simplifique \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde h \neq 0 para as funções dadas abaixo:
2 x+1

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se simplificar a expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} com h \neq 0.
  • A função dada é f(x)=2x+1.
  • Informações úteis: precisamos calcular f(x+h), subtrair f(x) e dividir por h. Não usar h=0 (isso impediria a divisão).

Passo 2

Calcular f(x+h) fazendo a substituição x \mapsto x+h na definição de f. Ou seja,
f(x+h)=2\,(x+h)+1.
Explicação: substituir significa pegar a fórmula de f e trocar cada ocorrência de x por x+h.

Passo 3

Expandir a expressão encontrada para ficar mais fácil manipular:
f(x+h)=2(x+h)+1=2x+2h+1.
Passo a passo da expansão: 2(x+h)=2x+2h. Em seguida soma-se +1.

Passo 4

Escrever o numerador f(x+h)-f(x) substituindo f(x+h) e f(x):
f(x+h)-f(x)=(2x+2h+1)-(2x+1).
Agora efetuar a subtração termo a termo. Observe que 2x cancela com -2x e +1 cancela com -1, sobrando
f(x+h)-f(x)=2h.
Explicação: ao subtrair polinômios, reduz-se termos semelhantes.

Passo 5

Dividir o resultado pelo h pedido na expressão original:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2h}{h}.
Como o enunciado garante h\neq 0, é permitido simplificar cancelando h:
\frac{2h}{h}=2.
Isso significa que a expressão simplificada não depende de x nem de h (desde que h\neq 0).

Resposta

2

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