Determine se a função
é par, ímpar ou nenhum dos dois. Use a simetria para esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar se
é par, ímpar ou nenhum dos dois. - Usar a simetria para esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - A função não está definida em
, portanto o domínio é .
Passo 2
Vamos lembrar com cuidado as definições (isso é útil para a prova):
- Uma função
é dita par se, para todo no domínio, vale
Isso corresponde à simetria em relação ao eixo
(eixo vertical): o ramo à esquerda é o espelho do ramo à direita.
- Uma função
é dita ímpar se, para todo no domínio, vale
Isso corresponde à simetria em relação à origem: girando o gráfico 180º em torno da origem obtém-se o mesmo gráfico.
Observação importante: para que essas definições façam sentido, o domínio deve ser simétrico em relação à origem (ou seja, se pertence ao domínio, então
também deve pertencer). No nosso caso o domínio
é simétrico, então é válido testar paridade.
Observação importante: para que essas definições façam sentido, o domínio deve ser simétrico em relação à origem (ou seja, se
Passo 3
Vamos calcular
e comparar com
. Usando a forma
:
Como
, temos
Explicando a regra usada: elevar
ao quadrado elimina o sinal porque
. Por isso qualquer potência de expoente par “remove” o sinal do argumento.
Passo 4
Da conta anterior segue que, para todo
do domínio,
Portanto
satisfaz exatamente a condição de uma função par. Não é ímpar porque, para ser ímpar, precisaríamos ter
, o que aqui daria
, ou seja
, o que nunca ocorre para
. Logo não pode ser ímpar.
Passo 5
Agora algumas observações úteis para esboçar o gráfico (coisas que caem em prova):
- Assíntotas:
- Vertical em
porque . - Horizontal em
porque .
- Vertical em
- Sinal:
para todo . - Alguns pontos fáceis (úteis no esboço):
-
, (pegos da própria definição). -
, . -
, .
-
- Monotonicidade em cada ramo:
- Para
, , então é decrescente em . - Para
, , então é crescente em .
Esses fatos juntos descrevem a forma típica em duas “copas” simétricas.
- Para
Passo 6
Como usar a simetria para esboçar o gráfico (passo a passo para você fazer rápido na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Marque a assíntota vertical
(linha tracejada) e a horizontal . - No primeiro quadrante (para
) desenhe a curva de : começa muito alta quando está perto de (tende a ), passa por , decresce e aproxima-se de quando . - Reflita esse ramo em relação ao eixo
para obter o ramo do segundo quadrante ( ). Por exemplo, o ponto tem espelho , o ponto tem espelho , etc. - Não desenhe nenhum ponto em
; a função não existe ali.
Descrição verbal do esboço final: duas curvas positivas, uma em
e a outra sua imagem espelhada em
; ambas tendem a
perto de
e tendem a
quando
.
Resposta
A função é par.