Determine se a função f é par, ímpar ou nenhum dos dois. Use a simetria para esboçar o gráfico.
f(x)=x^{-2}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{-2} e pede duas coisas:
  • Determinar se f é par, ímpar ou nenhum dos dois.
  • Usar a simetria para esboçar o gráfico de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é f(x)=x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • A função não está definida em x=0, portanto o domínio é \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 2

Vamos lembrar com cuidado as definições (isso é útil para a prova):
  • Uma função f é dita par se, para todo x no domínio, vale
f(-x)=f(x).
Isso corresponde à simetria em relação ao eixo y (eixo vertical): o ramo à esquerda é o espelho do ramo à direita.
  • Uma função f é dita ímpar se, para todo x no domínio, vale
f(-x)=-f(x).
Isso corresponde à simetria em relação à origem: girando o gráfico 180º em torno da origem obtém-se o mesmo gráfico.
Observação importante: para que essas definições façam sentido, o domínio deve ser simétrico em relação à origem (ou seja, se x pertence ao domínio, então -x também deve pertencer). No nosso caso o domínio \mathbb{R}\setminus\{0\} é simétrico, então é válido testar paridade.

Passo 3

Vamos calcular f(-x) e comparar com f(x). Usando a forma \dfrac{1}{x^{2}}:
f(-x)=\dfrac{1}{(-x)^{2}}.
Como (-x)^{2}=x^{2}, temos
f(-x)=\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}=f(x).
Explicando a regra usada: elevar -x ao quadrado elimina o sinal porque (-1)^{2}=1. Por isso qualquer potência de expoente par “remove” o sinal do argumento.

Passo 4

Da conta anterior segue que, para todo x do domínio,
f(-x)=f(x).
Portanto f satisfaz exatamente a condição de uma função par. Não é ímpar porque, para ser ímpar, precisaríamos ter f(-x)=-f(x), o que aqui daria x^{-2}=-x^{-2}, ou seja 2x^{-2}=0, o que nunca ocorre para x\neq0. Logo não pode ser ímpar.

Passo 5

Agora algumas observações úteis para esboçar o gráfico (coisas que caem em prova):
  • Assíntotas:
    • Vertical em x=0 porque \lim_{x\to0}f(x)=+\infty.
    • Horizontal em y=0 porque \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0^{+}.
  • Sinal: f(x)>0 para todo x\neq0.
  • Alguns pontos fáceis (úteis no esboço):
    • f(1)=1, f(-1)=1 (pegos da própria definição).
    • f(2)=\dfrac{1}{4}, f(-2)=\dfrac{1}{4}.
    • f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=4, f\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)=4.
  • Monotonicidade em cada ramo:
    • Para x>0, f'(x)=-2x^{-3}<0, então f é decrescente em (0,\infty).
    • Para x<0, f'(x)>0, então f é crescente em (-\infty,0).
      Esses fatos juntos descrevem a forma típica em duas “copas” simétricas.

Passo 6

Como usar a simetria para esboçar o gráfico (passo a passo para você fazer rápido na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque a assíntota vertical x=0 (linha tracejada) e a horizontal y=0.
  3. No primeiro quadrante (para x>0) desenhe a curva de y=\dfrac{1}{x^{2}}: começa muito alta quando x está perto de 0^{+} (tende a +\infty), passa por (1,1), decresce e aproxima-se de y=0 quando x\to+\infty.
  4. Reflita esse ramo em relação ao eixo y para obter o ramo do segundo quadrante ( x<0). Por exemplo, o ponto (1,1) tem espelho (-1,1), o ponto (2,\tfrac{1}{4}) tem espelho (-2,\tfrac{1}{4}), etc.
  5. Não desenhe nenhum ponto em x=0; a função não existe ali.
Descrição verbal do esboço final: duas curvas positivas, uma em x>0 e a outra sua imagem espelhada em x<0; ambas tendem a +\infty perto de x=0 e tendem a 0 quando |x|\to\infty.

Resposta

A função é par.

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