Determine a função f que satisfaz as seguintes condições do problema de valor inicial (P.V.I) tal que f^prime(x)=3 x^2 e f(0)=2.

Passo 1

Temos um problema de valor inicial com as condições f′(x)=3x² e f(0)=2. O conteúdo aqui é resolução de uma EDO de primeira ordem simples por integração: precisamos encontrar a antiderivada de f′(x) e depois usar a condição inicial para achar a constante.

Passo 2

Vamos integrar f′(x) para obter a solução geral de f(x):
f(x)=integral 3x^2,dx = x^3 + C
Aqui C é a constante de integração.

Passo 3

Agora aplicamos a condição inicial f(0)=2 para determinar C. Substituindo x=0 em f(x):
f(0)=0^3 + C = C = 2
Logo, C=2.

Passo 4

Substituindo C na solução geral, chegamos à solução particular do P.V.I:
f(x)=x^3+2

Resposta

f(x)=x^3+2

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