Considere a função G(x)=sen(k x)k e mostre que integral cos (k x) d x=sen(k x)k+C, com C in R.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos mostrar que a integral de em relação a é igual a , onde é uma constante real. Para resolver isso, vamos usar conhecimento de cálculo integral, especificamente a antiderivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função é basicamente encontrar outra função cuja derivada nos dá a função original. No caso de , queremos encontrar uma função cuja derivada seja .

Passo 3

Sabemos que a derivada de ddx sin(kx) = k cos(kx) em relação a é . Ou seja:
Mas queremos apenas , então precisamos ajustar essa expressão.

Passo 4

Para isolar ddx ( sin(kx)k ) = cos(kx) , dividimos ambos os lados da equação por :
Isso significa que é uma antiderivada de .

Passo 5

Como a antiderivada inclui uma constante de integração, adicionamos integral cos(kx) , dx = sin(kx)k + C para representar todas as possíveis funções antiderivadas. Portanto:

Resposta

A integral de em relação a é igual a , onde é uma constante real.

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