Considere a função
e mostre que
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos mostrar que a integral de
em relação a
é igual a
, onde
é uma constante real. Para resolver isso, vamos usar conhecimento de cálculo integral, especificamente a antiderivada de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função é basicamente encontrar outra função cuja derivada nos dá a função original. No caso de
, queremos encontrar uma função cuja derivada seja
.
Passo 3
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Ou seja:
Mas queremos apenas
, então precisamos ajustar essa expressão.
Passo 4
Para isolar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Isso significa que
é uma antiderivada de
.
Passo 5
Como a antiderivada inclui uma constante de integração, adicionamos
para representar todas as possíveis funções antiderivadas. Portanto:
Resposta
A integral de
em relação a
é igual a
, onde
é uma constante real.