Determine:
uma função f tal que f(0)=1 e que \int_{-\pi}^{x} e^{-s} f^{\prime}(s) d s=3 x para todo x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede uma função f tal que f(0)=1 e, para todo x\in\mathbb{R},
\int_{-\pi}^{x} e^{-s}\,f'(s)\,ds \;=\;3x.
O conteúdo principal é usar o Teorema Fundamental do Cálculo para diferenciar ambos os lados em relação a x e obter uma equação diferencial em f.

Passo 2

Diferenciando a identidade
\int_{-\pi}^{x} e^{-s}\,f'(s)\,ds = 3x
em relação a x, pelo Teorema Fundamental do Cálculo obtemos
e^{-x}\,f'(x) \;=\;\frac{d}{dx}(3x)\;=\;3.

Passo 3

Da equação
e^{-x}\,f'(x)=3
segue
f'(x)=3\,e^{x}.
Integrando em x,
f(x)=\int 3\,e^{x}\,dx = 3\,e^{x} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Impondo a condição inicial f(0)=1, temos
3\,e^{0} + C = 1 \quad\Longrightarrow\quad 3 + C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = -2.
Logo a solução candidata é
f(x)=3\,e^{x}-2.

Passo 5

Verificando no integral original:
\int_{-\pi}^{x} e^{-s}\,f'(s)\,ds =\int_{-\pi}^{x} e^{-s}\cdot\bigl(3\,e^{s}\bigr)\,ds =\int_{-\pi}^{x}3\,ds =3\bigl(x+\pi\bigr),
que não coincide com 3x (faltaria subtrair 3\pi). Isso gera contradição já em x=-\pi, pois a integral é zero mas o lado direito vale -3\pi. Portanto não existe função satisfazendo simultaneamente ambas as condições.

Resposta

Não existe nenhuma função f que satisfaça f(0)=1 e
\int_{-\pi}^{x} e^{-s}f'(s)\,ds = 3x
para todo x\in\mathbb{R}.

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