Determine:
uma função
tal que
e que
para todo
.
uma função
Passo 1
O enunciado pede uma função
tal que
e, para todo
,
O conteúdo principal é usar o Teorema Fundamental do Cálculo para diferenciar ambos os lados em relação a
e obter uma equação diferencial em
.
Passo 2
Diferenciando a identidade
em relação a
, pelo Teorema Fundamental do Cálculo obtemos
Passo 3
Da equação
segue
Integrando em
,
onde
é constante de integração.
Passo 4
Impondo a condição inicial
, temos
Logo a solução candidata é
Passo 5
Verificando no integral original:
que não coincide com
(faltaria subtrair
). Isso gera contradição já em
, pois a integral é zero mas o lado direito vale
. Portanto não existe função satisfazendo simultaneamente ambas as condições.
Resposta
Não existe nenhuma função
que satisfaça
e
para todo
.