(Integrais Impróprias)
\int_{e}^{+\infty} \frac{d x}{x \log ^{3} x};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{e}^{+\infty} \frac{dx}{x\,(\ln x)^{3}},
que é um caso típico de integral divergente ou convergente em infinito. Para resolver, vamos usar a substituição que transforma dx/x em du, onde u=\ln x.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \ln x \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{dx}{x},
os limites mudam de x=e para u=1 e de x\to+\infty para u\to+\infty. Assim a integral vira
\int_{e}^{+\infty} \frac{dx}{x\,(\ln x)^{3}} = \int_{1}^{+\infty} \frac{du}{u^{3}}.

Passo 3

Agora integramos
\int_{1}^{+\infty} u^{-3}\,du.
Como \int u^{-3}du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2u^{2}}, avaliamos nos limites 1 a +\infty:

Passo 4

\int_{1}^{+\infty} u^{-3}\,du = \left[-\frac{1}{2u^{2}}\right]_{1}^{+\infty} = \Bigl(0\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{2\cdot1^{2}}\Bigr) = \frac{1}{2}.
Isso mostra que a integral converge e vale \tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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