Determine:
\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x^{2}} \int_{0}^{x} \log \left(t^{9}+3\right) d t;

Passo 1

O enunciado pede a determinação de
\lim_{x\to+\infty} e^{-x^{2}}\int_{0}^{x}\log\bigl(t^{9}+3\bigr)\,dt.
Estamos trabalhando com crescimento comparado entre uma integral que cresce polinômico-logarítmicamente e a função exponencial e^{x^{2}}. Vamos precisar de um argumento de comparação assintótica ou do lema de L’Hôpital para ver que a exponencial domina a integral.

Passo 2

Note que, para x grande,
\log\bigl(t^{9}+3\bigr) =\log\bigl(t^{9}(1+3/t^{9})\bigr) =9\log t + \log\bigl(1+3/t^{9}\bigr) \sim 9\log t.
Logo
\int_{0}^{x}\log\bigl(t^{9}+3\bigr)\,dt =\int_{0}^{x}\bigl(9\log t + o(1)\bigr)\,dt =9\bigl[x\log x - x\bigr]+o(x\log x),
ou seja esse integral cresce como O(x\log x).

Passo 3

Agora compare com e^{x^{2}}. Temos
e^{-x^{2}}\int_{0}^{x}\log\bigl(t^{9}+3\bigr)\,dt =O\!\bigl(x\log x\,e^{-x^{2}}\bigr).
Como e^{x^{2}} cresce muito mais rápido que qualquer potência de x ou de \log x, segue imediatamente que
x\log x\,e^{-x^{2}}\;\longrightarrow\;0 \quad\text{quando }x\to+\infty.
Portanto o produto tende a zero.

Resposta

0

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