Determine a função f(x) sabendo que f^{\prime}(x)=2 x e que f(2)=6.

Passo 1

O enunciado nos dá que a derivada de f é
f'(x) = 2x
e que conhecemos o valor de f em um ponto:
f(2) = 6.
O conteúdo aqui é antiderivação (integração indefinida) e aplicação de condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Para encontrar f(x), integramos f'(x)=2x. Por definição,
f(x) = \int 2x\,dx = x^2 + C,
onde C é a constante de integração que ainda precisamos determinar.

Passo 3

Usamos a condição f(2)=6. Substituindo x=2 em f(x)=x^2+C, obtemos
f(2) = 2^2 + C = 4 + C \stackrel{!}{=}6.
Assim,
4 + C = 6 \quad\Longrightarrow\quad C = 2.

Passo 4

Com C=2, a função procurada é
f(x) = x^2 + 2.

Resposta

f(x) = x^2 + 2.

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