Encontre as integrais indefinidas abaixo:
f(x)=7 x^{\frac{5}{2}}+4;

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada (integrais indefinidas) de
f(x) = 7x^{\frac{5}{2}} + 4.
O conteúdo usado será a propriedade de linearidade da integral e a regra do poder, que diz que
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Pela linearidade da integral, escrevemos
\int\bigl(7x^{\tfrac{5}{2}}+4\bigr)\,dx = 7\int x^{\tfrac{5}{2}}\,dx \;+\;\int 4\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra do poder ao primeiro termo, com n=\tfrac{5}{2}, temos
\int x^{\tfrac{5}{2}}\,dx = \frac{x^{\tfrac{5}{2}+1}}{\tfrac{5}{2}+1} = \frac{x^{\tfrac{7}{2}}}{\tfrac{7}{2}} = \frac{2}{7}\,x^{\tfrac{7}{2}}.
Multiplicando por 7, o resultado fica
7\int x^{\tfrac{5}{2}}\,dx = 7\cdot\frac{2}{7}\,x^{\tfrac{7}{2}} = 2\,x^{\tfrac{7}{2}}.

Passo 4

A integral do termo constante é direta:
\int 4\,dx = 4x.

Passo 5

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(7x^{\tfrac{5}{2}}+4\bigr)\,dx = 2\,x^{\tfrac{7}{2}} + 4x + C.

Resposta

2x^{\tfrac{7}{2}} + 4x + C

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