Calcular as integrais indefinidas abaixo:
\int\left(\operatorname{tg}^{2} x+\operatorname{cotg}^{2} x+4\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de
\int\bigl(\tan^{2}x+\cot^{2}x+4\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é integração de funções trigonométricas elementares. Para isso, vamos usar as identidades
\tan^{2}x+1=\operatorname{sec}^{2}x \quad\text{e}\quad \cot^{2}x+1=\csc^{2}x.

Passo 2

Reescrevendo cada termo em função de \operatorname{sec}^{2}x e \csc^{2}x:
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1, \quad \cot^{2}x=\csc^{2}x-1.
Logo,
\tan^{2}x+\cot^{2}x+4 =(\operatorname{sec}^{2}x-1)+(\csc^{2}x-1)+4 =\operatorname{sec}^{2}x+\csc^{2}x+2.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
  1. \displaystyle \int\operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x.
  2. \displaystyle \int\csc^{2}x\,dx=-\cot x.
  3. \displaystyle \int 2\,dx=2x.

Passo 4

Somando as primitivas e adicionando a constante de integração C, obtemos
F(x)=\tan x - \cot x + 2x + C.

Resposta

\boxed{F(x)=\tan x-\cot x+2x+C.}

Exercícios relacionados