Determine a função inversa de f(x)=\frac{x-1}{x}
a) \frac{1}{1-x}
b) \frac{1}{1+x}
c) \frac{1-x}{1+x}
d) \frac{1+x}{1-x}
e) x+1

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\frac{x-1}{x}
e pede para determinar a função inversa entre as alternativas:
a) \dfrac{1}{1-x}
b) \dfrac{1}{1+x}
c) \dfrac{1-x}{1+x}
d) \dfrac{1+x}{1-x}
e) x+1

Passo 2

O que é função inversa? Vou explicar de forma direta: se f leva cada valor x (do seu domínio) a um valor y=f(x), a inversa f^{-1} deve levar esse y de volta ao x. Em símbolos, para todo x do domínio apropriado vale
f^{-1}(f(x))=x \quad\text{e}\quad f(f^{-1}(y))=y.
Na prática, para achar f^{-1} substitui-se y=f(x) e resolve-se essa equação para x em função de y. Depois troca-se o papel das variáveis e escreve-se f^{-1}(x).

Passo 3

Começo aplicando o passo prático: escrevo
y=\frac{x-1}{x}.
Meu objetivo é isolar x em função de y. Primeiro noto uma forma mais simples para essa fração:
\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}.
Portanto posso reescrever a equação como
y=1-\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora isolo o termo com x. Subtraindo y dos dois lados:
1-y=\frac{1}{x}.
Agora inverto os dois lados (ou tomo recíproco) para isolar x:
x=\frac{1}{1-y}.

Passo 5

Isso me dá x em função de y. Para escrever a inversa troco y por x (notação usual):
f^{-1}(x)=\frac{1}{1-x}.
Essa é a expressão candidata à inversa.

Passo 6

Consistência de domínios: a função original f(x)=\dfrac{x-1}{x} não está definida em x=0 (logo domínio de f é todos os reais exceto x=0). A expressão que encontramos para f^{-1} tem denominador 1-x, então f^{-1} não está definida em x=1. Isso faz sentido porque o valor y=1 nunca é atingido por f: se f(x)=1 teríamos 1-\dfrac{1}{x}=1\Rightarrow-\dfrac{1}{x}=0, impossível. Logo a inversa ter domínio \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq1\} é coerente.

Passo 7

Verificação rápida por composição (pra ficar seguro): defina g(x)=\dfrac{1}{1-x}. Então
f(g(x))=\frac{g(x)-1}{g(x)}.
Calculo g(x)-1:
g(x)-1=\frac{1}{1-x}-1=\frac{1-(1-x)}{1-x}=\frac{x}{1-x}.
Agora
\frac{g(x)-1}{g(x)}=\frac{\dfrac{x}{1-x}}{\dfrac{1}{1-x}}=x.
Portanto f(g(x))=x (onde ambas estão definidas), confirmando que g=f^{-1}.

Passo 8

Conclusão: a inversa de f(x)=\dfrac{x-1}{x} é \dfrac{1}{1-x}, que corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) \dfrac{1}{1-x}

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