Determine a função inversa de
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para determinar a função inversa entre as alternativas:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
O que é função inversa? Vou explicar de forma direta: se
leva cada valor
(do seu domínio) a um valor
, a inversa
deve levar esse
de volta ao
. Em símbolos, para todo
do domínio apropriado vale
Na prática, para achar
substitui-se
e resolve-se essa equação para
em função de
. Depois troca-se o papel das variáveis e escreve-se
.
Passo 3
Começo aplicando o passo prático: escrevo
Meu objetivo é isolar
em função de
. Primeiro noto uma forma mais simples para essa fração:
Portanto posso reescrever a equação como
Passo 4
Agora isolo o termo com
. Subtraindo
dos dois lados:
Agora inverto os dois lados (ou tomo recíproco) para isolar
:
Passo 5
Isso me dá
em função de
. Para escrever a inversa troco
por
(notação usual):
Essa é a expressão candidata à inversa.
Passo 6
Consistência de domínios: a função original
não está definida em
(logo domínio de
é todos os reais exceto
). A expressão que encontramos para
tem denominador
, então
não está definida em
. Isso faz sentido porque o valor
nunca é atingido por
: se
teríamos
, impossível. Logo a inversa ter domínio
é coerente.
Passo 7
Verificação rápida por composição (pra ficar seguro): defina
. Então
Calculo
:
Agora
Portanto
(onde ambas estão definidas), confirmando que
.
Passo 8
Conclusão: a inversa de
é
, que corresponde à alternativa (a).
Resposta
a)