Seja
a região triangular do plano-xy de vértices
e
. Determine a área da parte do gráfico de
que se projeta em
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ C.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ C.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá:
- A superfície é definida por
. - A região de projeção
no plano é o triângulo com vértices , e .
O que pede: determinar a área da parte do gráfico decuja projeção no plano é exatamente .
Informações relevantes dadas pelo enunciado: - A equação da superfície:
. - Os vértices do triângulo
: , , .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
Para uma superfície dada por , a área da superfície sobre uma região
do plano é
Para uma superfície dada por
Explicando:
é a derivada parcial de
em relação a
(a inclinação da superfície na direção
), e
é a derivada parcial em relação a
. A raiz sob o integral vem de aproximar a superfície por pequenos planos inclinados e somar suas áreas.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
:
Substituindo na fórmula do integrando:
Passo 4
Descrever a região
e montar os limites de integração.
O triângulo com vértices tem bordas
,
e a reta passando por
e
que é
. Dentro do triângulo os pontos satisfazem
e, para cada
,
varia de
até
. Logo os limites são
O triângulo com vértices
Assim a área procurada é
Passo 5
Executar a integral interna em
. Como o integrando não depende de
,
Portanto a área reduz-se à integral em
:
Passo 6
Calcular a integral em
por substituição. Faça
. Então
Quando
temos
. Quando
temos
. Assim
Escrevendo
e
, obtemos