Seja R a região triangular do plano-xy de vértices (0,0,0),(0,1,0) e (1,1,0). Determine a área da parte do gráfico de z=3 x+y^{2} que se projeta em R
Escolha uma opção:
◯ a. \frac{16}{3}
◯ b. \frac{\sqrt{14}-\sqrt{10}}{12}
◯ C. \frac{34}{3}
◯ d. \frac{14 \sqrt{14}-10 \sqrt{10}}{12}
◯ e. \frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado dá:
  • A superfície é definida por z=3x+y^{2}.
  • A região de projeção R no plano xy é o triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (1,1).
    O que pede: determinar a área da parte do gráfico de z=3x+y^{2} cuja projeção no plano xy é exatamente R.
    Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação da superfície: z=3x+y^{2}.
  • Os vértices do triângulo R: (0,0), (0,1), (1,1).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
Para uma superfície dada por z=f(x,y), a área da superfície sobre uma região R do plano é
\iint_{R}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\,dA.
Explicando: \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (a inclinação da superfície na direção x), e \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y. A raiz sob o integral vem de aproximar a superfície por pequenos planos inclinados e somar suas áreas.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=3x+y^{2}:
\frac{\partial f}{\partial x}=3,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y.
Substituindo na fórmula do integrando:
\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}} =\sqrt{1+3^{2}+(2y)^{2}}=\sqrt{10+4y^{2}}.

Passo 4

Descrever a região R e montar os limites de integração.
O triângulo com vértices (0,0), (0,1), (1,1) tem bordas x=0, y=1 e a reta passando por (0,0) e (1,1) que é y=x. Dentro do triângulo os pontos satisfazem 0\le y\le1 e, para cada y, x varia de 0 até y. Logo os limites são
0\le y\le1,\qquad 0\le x\le y.
Assim a área procurada é
\iint_{R}\sqrt{10+4y^{2}}\,dA =\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y}\sqrt{10+4y^{2}}\,dx\,dy.

Passo 5

Executar a integral interna em x. Como o integrando não depende de x,
\int_{x=0}^{y}\sqrt{10+4y^{2}}\,dx = y\sqrt{10+4y^{2}}.
Portanto a área reduz-se à integral em y:
\int_{0}^{1} y\sqrt{10+4y^{2}}\,dy.

Passo 6

Calcular a integral em y por substituição. Faça u=10+4y^{2}. Então
du = 8y\,dy \quad\Rightarrow\quad y\,dy=\frac{du}{8}.
Quando y=0 temos u=10. Quando y=1 temos u=14. Assim
\int_{0}^{1} y\sqrt{10+4y^{2}}\,dy = \int_{u=10}^{14} \frac{1}{8}\,u^{1/2}\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{10}^{14} = \frac{1}{12}\left(14^{3/2}-10^{3/2}\right).
Escrevendo 14^{3/2}=14\sqrt{14} e 10^{3/2}=10\sqrt{10}, obtemos
\frac{1}{12}\bigl(14\sqrt{14}-10\sqrt{10}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{14 \sqrt{14}-10 \sqrt{10}}{12}

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