Sejam f: R R uma função bijetora e f^{-1} sua inversa. Dado que f(2)=5, podemos concluir que:
a) f^{-1}(1 / 2)=5
b) f^{-1}(-2)=-5
c) f^{-1}(2)=1 / 5
d) f^{-1}(2)=-5
e) f^{-1}(5)=2

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informação dada: f é bijetora e f(2)=5.
  • O que se pede: escolher qual das alternativas abaixo podemos concluir apenas com a informação dada:
    a) f^{-1}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=5
    b) f^{-1}(-2)=-5
    c) f^{-1}(2)=\tfrac{1}{5}
    d) f^{-1}(2)=-5
    e) f^{-1}(5)=2

Passo 2

Definição importante (explicação didática): como f é bijetora, ela tem inversa f^{-1}. A definição da inversa é:
\text{para quaisquer }x,y,\quad f(x)=y \iff f^{-1}(y)=x.
Isto significa que a inversa “desfaz” o que f faz: se f manda x para y, então f^{-1} manda y de volta para x. A bijetividade garante que para cada y há um único x com essa propriedade.

Passo 3

Aplicando a definição ao dado f(2)=5: pela equivalência acima, isso implica imediatamente
f^{-1}(5)=2.
Ou seja, sabemos com certeza que a alternativa correspondente a essa igualdade é verdadeira.

Passo 4

Agora examino as demais alternativas uma a uma, usando sempre a definição f(x)=y \iff f^{-1}(y)=x.
a) A igualdade f^{-1}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=5 seria equivalente a f(5)=\tfrac{1}{2}. O enunciado não nos dá nenhuma informação sobre f(5), portanto não podemos concluir essa igualdade. Pode ser verdadeira ou falsa dependendo de f, mas não é dedutível apenas de f(2)=5.
b) A igualdade f^{-1}(-2)=-5 equivaleria a f(-5)=-2. Novamente, não há informação sobre f(-5) no enunciado, então não podemos concluir essa alternativa.
c) A igualdade f^{-1}(2)=\tfrac{1}{5} equivaleria a f\!\left(\tfrac{1}{5}\right)=2. Não temos essa informação; portanto não se pode concluir.
d) A igualdade f^{-1}(2)=-5 equivaleria a f(-5)=2. Também não há dados que permitam concluir isso a partir de f(2)=5.

Passo 5

Resumo lógico: apenas a alternativa que expressa exatamente a inversão do dado conhecido f(2)=5 é garantida. As outras afirmam valores da função ou da inversa em pontos diferentes e não são dedutíveis sem informação adicional sobre f.

Resposta

e) f^{-1}(5)=2

Exercícios relacionados