Determine a função inversa.
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
O que ele pede: determinar a função inversa dessa função (ou seja, achar
tal que, trocando entrada por saída, a composição recupere o valor original).
Informações relevantes dadas:
- A expressão explícita da função é
. - A base
indica uma função exponencial. - Não há outros dados (por exemplo, domínio ou imagem) explicitamente fornecidos no enunciado.
Passo 2
Conceito rápido e útil: o que é a função inversa e como geralmente achá-la.
- Se
é uma função unívoca (injeção) com expressão , a inversa é a função que troca entradas e saídas: . - Método prático: trocar
e na equação e resolver para . O resultado é . - Observação importante sobre domínio: ao trocar
e devemos garantir que os valores que aparecerem como entrada na inversa sejam aqueles que realmente aparecem como saída da função original (a imagem de ).
Passo 3
Verificando que a inversa existe (intuição): a função exponencial é estritamente crescente, então é injetora e tem inversa. Em particular, a função
é composta por uma afim seguida de exponencial; continua estritamente crescente e, portanto, invertível. (Isso é só para ficar tranquilo — não precisa provar formalmente na prova se você já sabe que exponenciais são injetoras.)
Passo 4
Aplicando o procedimento: começar da equação dada e trocar
e
.
Agora precisamos resolver essa equação para
em função de
.
Passo 5
Usar logaritmo natural para “desfazer” a exponenciação. Lembrete de teoria:
é a função inversa de
, ou seja,
para qualquer
, e
só está definida para argumentos positivos. Portanto aqui precisamos que
, o que faz sentido porque a imagem de uma exponencial é
.
Aplicando
em ambos os lados de
:
Pelo fato
, obtemos:
Passo 6
Isolando
na equação
:
Assim, a função que dá
em termos de
é a inversa procurada.
Passo 7
Anotando domínio e imagem da inversa (importante para usar a função corretamente):
- A função original tem domínio
e imagem . - Logo a inversa tem domínio
e imagem .
Também podemos checar rapidamente a composição para confirmar:
para
, o que confirma que a expressão encontrada realmente é a inversa.