Determine a função inversa.
y=e^{2 x-1}.

Passo 1

O enunciado fornece a função
y = e^{2x-1}.
O que ele pede: determinar a função inversa dessa função (ou seja, achar f^{-1} tal que, trocando entrada por saída, a composição recupere o valor original).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita da função é y = e^{2x-1}.
  • A base e indica uma função exponencial.
  • Não há outros dados (por exemplo, domínio ou imagem) explicitamente fornecidos no enunciado.

Passo 2

Conceito rápido e útil: o que é a função inversa e como geralmente achá-la.
  • Se f é uma função unívoca (injeção) com expressão y=f(x), a inversa f^{-1} é a função que troca entradas e saídas: f^{-1}(y)=x.
  • Método prático: trocar x e y na equação y=f(x) e resolver para y. O resultado é y=f^{-1}(x).
  • Observação importante sobre domínio: ao trocar x e y devemos garantir que os valores que aparecerem como entrada na inversa sejam aqueles que realmente aparecem como saída da função original (a imagem de f).

Passo 3

Verificando que a inversa existe (intuição): a função exponencial é estritamente crescente, então é injetora e tem inversa. Em particular, a função x\mapsto e^{2x-1} é composta por uma afim seguida de exponencial; continua estritamente crescente e, portanto, invertível. (Isso é só para ficar tranquilo — não precisa provar formalmente na prova se você já sabe que exponenciais são injetoras.)

Passo 4

Aplicando o procedimento: começar da equação dada e trocar x e y.
x = e^{2y-1}.
Agora precisamos resolver essa equação para y em função de x.

Passo 5

Usar logaritmo natural para “desfazer” a exponenciação. Lembrete de teoria: \ln é a função inversa de e^{(\cdot)}, ou seja, \ln(e^{u})=u para qualquer u, e \ln só está definida para argumentos positivos. Portanto aqui precisamos que x>0, o que faz sentido porque a imagem de uma exponencial é (0,\infty).
Aplicando \ln em ambos os lados de x = e^{2y-1}:
\ln x = \ln\big(e^{2y-1}\big).
Pelo fato \ln(e^{u})=u, obtemos:
\ln x = 2y - 1.

Passo 6

Isolando y na equação \ln x = 2y - 1:
2y = \ln x + 1,
y = \frac{\ln x + 1}{2}.
Assim, a função que dá y em termos de x é a inversa procurada.

Passo 7

Anotando domínio e imagem da inversa (importante para usar a função corretamente):
  • A função original tem domínio \mathbb{R} e imagem (0,\infty).
  • Logo a inversa tem domínio (0,\infty) e imagem \mathbb{R}.
Também podemos checar rapidamente a composição para confirmar:
f\big(f^{-1}(x)\big)=e^{2\left(\frac{\ln x + 1}{2}\right)-1}=e^{\ln x +1 -1}=e^{\ln x}=x,
para x>0, o que confirma que a expressão encontrada realmente é a inversa.

Resposta

f^{-1}(x)=\frac{\ln x + 1}{2}

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