A integra dupla I=\int_{0}^{1} \int_{-2}^{1} x y^{2} d x d y vale
Escolha uma opção:
-\frac{1}{2}
-2
◯ 1
\frac{1}{3}
\frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I=\int_{0}^{1}\int_{-2}^{1} x\,y^{2}\,dx\,dy
Dados importantes:
  • A variável de integração interna é x com limites -2 a 1.
  • A variável de integração externa é y com limites 0 a 1.
  • A função integranda é x\,y^{2}.
    A pergunta é: qual o valor numérico de I?

Passo 2

Observação útil (propriedade de integrais): quando se integra em x, a expressão que não depende de x pode ser tratada como constante e saída da integral. Aqui y^{2} não depende de x, então
\int_{-2}^{1} x\,y^{2}\,dx = y^{2}\int_{-2}^{1} x\,dx.

Passo 3

Calcular a integral simples \int_{-2}^{1} x\,dx usando antiderivada. A antiderivada de x é \tfrac{1}{2}x^{2}. Portanto
\int_{-2}^{1} x\,dx = \left.\tfrac{1}{2}x^{2}\right|_{x=-2}^{x=1} = \tfrac{1}{2}(1^{2}) - \tfrac{1}{2}((-2)^{2}) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cdot 4 = \tfrac{1}{2}-2 = -\tfrac{3}{2}.
Assim a integral interna vale
\int_{-2}^{1} x\,y^{2}\,dx = y^{2}\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right) = -\tfrac{3}{2}y^{2}.

Passo 4

Agora integramos em y de 0 a 1:
I=\int_{0}^{1}\left(-\tfrac{3}{2}y^{2}\right)dy = -\tfrac{3}{2}\int_{0}^{1} y^{2}\,dy.
A antiderivada de y^{2} é \tfrac{1}{3}y^{3}, então
\int_{0}^{1} y^{2}\,dy = \left.\tfrac{1}{3}y^{3}\right|_{0}^{1} = \tfrac{1}{3}.
Portanto
I = -\tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{1}{3} = -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Checagem rápida de sinal (intuição): como y^{2}\ge 0 em [0,1], o sinal da integral é dado pela média de x em [-2,1]. A parte negativa (de -2 a 0) tem maior “peso” em módulo que a parte positiva (de 0 a 1), então esperar um valor negativo faz sentido. O cálculo confirma: I=-\tfrac{1}{2}. Força aí — é só seguir os passos na prova!

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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