Use as propriedades para provar que duas das três funções exponenciais são idênticas.
(a) (i)
(iii)
(ii)
(b) (i)
(iii)
(ii)
(a) (i)
(iii)
(ii)
(b) (i)
(iii)
(ii)
Passo 1
O enunciado pede que, usando propriedades de exponenciais, se prove que duas das três funções dadas são idênticas em cada item. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser respondido.
(a) As funções fornecidas são:
O que pedir: identificar quais duas de
são idênticas.
(b) As funções fornecidas são:
O que pedir: identificar quais duas de
são idênticas.
Passo 2
Antes de manipular as funções, vamos rever (de forma bem didática) as propriedades de potências que vou usar. Explico o que cada símbolo significa:
-
são números reais; quando aparecem como base de potências normalmente assumimos para evitar problemas com potências não inteiras. -
significa a potência de base e expoente .
Propriedades úteis:
- Potência de potência:
Significa: se eu tenho uma base
elevada a
, e levanto esse resultado à potência
, o efeito é multiplicar os expoentes
e
.
- Produto de potências de mesma base:
Significa: multiplicar potências com a mesma base é somar os expoentes.
- Substituição de base composta: se uma base é uma potência, por exemplo
, então
Isto é só uma aplicação das propriedades acima.
Vou aplicar essas regras passo a passo nas funções dadas.
Passo 3
Resolução de (a).
Primeiro comparar
com
. Observação:
é uma potência de
, pois
. Então:
Agora aplico a propriedade de potência de potência (Passo 2, item 1). Assim:
Distribuindo o
no expoente:
Portanto:
Conclusão intermediária:
e
são idênticas função a função.
Agora mostrar que
não é igual a essas duas.
é
Aqui o
está somando fora da potência — isto é diferente de ter esse
no expoente. Para ver claramente que não são iguais, basta avaliar em um ponto simples, por exemplo
:
Calculo de
e
:
Como
,
não é igual a
(nem a
). A razão algébrica é que não existe uma propriedade que transforme
em
; soma fora da potência não se combina com a potência.
Passo 4
Resolução de (b).
Vou mostrar que
e
são idênticas. Começo escrevendo
de forma que eu possa usar a propriedade do produto de potências:
Escrevo
como
, pois
. Assim:
Agora aplico a propriedade do produto de potências com a mesma base (Passo 2, item 2), somando os expoentes:
Simplificando o expoente:
portanto
Mas
é exatamente
. Conclusão intermediária:
Para completar, mostro que
não é igual a estas duas. Reescrevendo
com base
:
Aplicando potência de potência:
Comparando com
, estes expoentes são diferentes em geral (
versus
). Pode-se verificar com
:
como
,
é diferente de
e, portanto, diferente de
.
Passo 5
Resumo das conclusões (já justifiquei passo a passo com as propriedades):
- No item (a) as funções idênticas são
e . - No item (b) as funções idênticas são
e .
Vai dar certo na prova — lembre que para reconhecer funções iguais a olho, tente reescrever as bases como potências da mesma base e use
e
. Persistência e prática valem muito!
Resposta
(a)
(b)
(b)