Use as propriedades para provar que duas das três funções exponenciais são idênticas.
(a) (i) y_{1}=3^{2 x+4}
(iii) y_{3}=9^{x+2}
(ii) y_{2}=3^{2 x}+4
(b) (i) y_{1}=4^{3 x-2}
(iii) y_{3}=2^{3 x-1}
(ii) y_{2}=2\left(2^{3 x-2}\right)

Passo 1

O enunciado pede que, usando propriedades de exponenciais, se prove que duas das três funções dadas são idênticas em cada item. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser respondido.
(a) As funções fornecidas são:
y_{1}=3^{2x+4}
y_{2}=3^{2x}+4
y_{3}=9^{x+2}
O que pedir: identificar quais duas de y_{1},y_{2},y_{3} são idênticas.
(b) As funções fornecidas são:
y_{1}=4^{3x-2}
y_{2}=2\left(2^{3x-2}\right)
y_{3}=2^{3x-1}
O que pedir: identificar quais duas de y_{1},y_{2},y_{3} são idênticas.

Passo 2

Antes de manipular as funções, vamos rever (de forma bem didática) as propriedades de potências que vou usar. Explico o que cada símbolo significa:
  • a,b,c,m,n são números reais; quando aparecem como base de potências normalmente assumimos a>0 para evitar problemas com potências não inteiras.
  • a^{b} significa a potência de base a e expoente b.
Propriedades úteis:
  1. Potência de potência:
\left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}.
Significa: se eu tenho uma base a elevada a b, e levanto esse resultado à potência c, o efeito é multiplicar os expoentes b e c.
  1. Produto de potências de mesma base:
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.
Significa: multiplicar potências com a mesma base é somar os expoentes.
  1. Substituição de base composta: se uma base é uma potência, por exemplo b=a^{k}, então
b^{t}=(a^{k})^{t}=a^{k t}.
Isto é só uma aplicação das propriedades acima.
Vou aplicar essas regras passo a passo nas funções dadas.

Passo 3

Resolução de (a).
Primeiro comparar y_{3} com y_{1}. Observação: 9 é uma potência de 3, pois 9=3^{2}. Então:
y_{3}=9^{x+2}=\left(3^{2}\right)^{x+2}.
Agora aplico a propriedade de potência de potência (Passo 2, item 1). Assim:
\left(3^{2}\right)^{x+2}=3^{2\cdot(x+2)}.
Distribuindo o 2 no expoente:
3^{2\cdot(x+2)}=3^{2x+4}.
Portanto:
y_{3}=3^{2x+4}=y_{1}.
Conclusão intermediária: y_{1} e y_{3} são idênticas função a função.
Agora mostrar que y_{2} não é igual a essas duas. y_{2} é
y_{2}=3^{2x}+4.
Aqui o +4 está somando fora da potência — isto é diferente de ter esse 4 no expoente. Para ver claramente que não são iguais, basta avaliar em um ponto simples, por exemplo x=0:
Calculo de y_{1}(0) e y_{2}(0):
y_{1}(0)=3^{2\cdot0+4}=3^{4}=81,
y_{2}(0)=3^{2\cdot0}+4=3^{0}+4=1+4=5.
Como 81\neq5, y_{2} não é igual a y_{1} (nem a y_{3}). A razão algébrica é que não existe uma propriedade que transforme a^{m}+c em a^{m+c}; soma fora da potência não se combina com a potência.

Passo 4

Resolução de (b).
Vou mostrar que y_{2} e y_{3} são idênticas. Começo escrevendo y_{2} de forma que eu possa usar a propriedade do produto de potências:
y_{2}=2\left(2^{3x-2}\right).
Escrevo 2 como 2^{1}, pois 2=2^{1}. Assim:
y_{2}=2^{1}\cdot 2^{3x-2}.
Agora aplico a propriedade do produto de potências com a mesma base (Passo 2, item 2), somando os expoentes:
2^{1}\cdot 2^{3x-2}=2^{1+(3x-2)}.
Simplificando o expoente:
1+(3x-2)=3x-1,
portanto
y_{2}=2^{3x-1}.
Mas 2^{3x-1} é exatamente y_{3}. Conclusão intermediária:
y_{2}=y_{3}.
Para completar, mostro que y_{1} não é igual a estas duas. Reescrevendo y_{1} com base 2:
y_{1}=4^{3x-2}=\left(2^{2}\right)^{3x-2}.
Aplicando potência de potência:
\left(2^{2}\right)^{3x-2}=2^{2\cdot(3x-2)}=2^{6x-4}.
Comparando com y_{3}=2^{3x-1}, estes expoentes são diferentes em geral ( 6x-4 versus 3x-1). Pode-se verificar com x=0:
y_{1}(0)=2^{6\cdot0-4}=2^{-4}=\tfrac{1}{16},
y_{3}(0)=2^{3\cdot0-1}=2^{-1}=\tfrac{1}{2},
como \tfrac{1}{16}\neq\tfrac{1}{2}, y_{1} é diferente de y_{3} e, portanto, diferente de y_{2}.

Passo 5

Resumo das conclusões (já justifiquei passo a passo com as propriedades):
  • No item (a) as funções idênticas são y_{1} e y_{3}.
  • No item (b) as funções idênticas são y_{2} e y_{3}.
Vai dar certo na prova — lembre que para reconhecer funções iguais a olho, tente reescrever as bases como potências da mesma base e use \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc} e a^{m}a^{n}=a^{m+n}. Persistência e prática valem muito!

Resposta

(a) y_{1}=y_{3}
(b) y_{2}=y_{3}

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