Determine a função posição de uma partícula que possui aceleração dada por a(t)=\operatorname{sen} t+2 e^{t} e satisfaz v(0)=6 e x(0)=5.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de uma partícula
a(t)=\sin t+2e^t
e pede a função posição x(t), sabendo que v(0)=6 e x(0)=5. Vamos usar que
  1. \displaystyle v(t)=\int a(t)\,dt, com constante de integração ajustada por v(0)=6.
  2. \displaystyle x(t)=\int v(t)\,dt, com constante de integração ajustada por x(0)=5.

Passo 2

Integramos a(t) para obter a forma geral de v(t):
v(t)=\int\bigl(\sin t+2e^t\bigr)\,dt
v(t)=-\cos t+2e^t+C_1

Passo 3

Aplicamos a condição inicial v(0)=6:
v(0)=-\cos0+2e^0+C_1=-1+2+C_1=1+C_1\stackrel!=6
Logo C_1=5 e
v(t)=-\cos t+2e^t+5.

Passo 4

Agora integramos v(t) para obter x(t):
x(t)=\int\bigl(-\cos t+2e^t+5\bigr)\,dt
x(t)=-\sin t+2e^t+5t+C_2

Passo 5

Usamos x(0)=5:
x(0)=-\sin0+2e^0+5\cdot0+C_2=0+2+0+C_2=2+C_2\stackrel!=5
Logo C_2=3 e
x(t)=-\sin t+2e^t+5t+3.

Resposta

x(t)=-\sin t+2e^t+5t+3.

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