Determine a função posição de uma partícula que possui aceleração dada por a(t)=6 t+3 e satisfaz v(0)=3 e x(0)=6.

Passo 1

O enunciado fornece a aceleração da partícula
a(t)=6t+3
e as condições iniciais \,v(0)=3 e \,x(0)=6.
Para encontrar a função posição x(t) vamos primeiro integrar a(t) para obter a velocidade v(t) e então integrar v(t) para achar x(t), determinando as constantes de integração pelas condições dadas.

Passo 2

Integramos a aceleração para obter a velocidade:
v(t)=\int a(t)\,dt=\int(6t+3)\,dt=3t^2+3t+C_1.
Usando a condição \,v(0)=3, temos
v(0)=C_1=3,
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v(t)=3t^2+3t+3.

Passo 3

Agora integramos a velocidade para obter a posição:
x(t)=\int v(t)\,dt=\int(3t^2+3t+3)\,dt =t^3+\frac{3}{2}t^2+3t+C_2.
Usando a condição \,x(0)=6, obtemos
x(0)=C_2=6,
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x(t)=t^3+\frac{3}{2}t^2+3t+6.

Resposta

x(t)=t^3+\frac{3}{2}t^2+3t+6.

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