Prove que são verdadeiras as identidades:
\begin{aligned} & \cos 5 \theta=16 \cos ^{5} \theta-20 \cos ^{3} \theta+5 \cos \theta \\\ & \operatorname{sen} 5 \theta / \operatorname{sen} \theta=16 \cos ^{4} \theta-12 \cos ^{2} \theta+1 \\\ & \cos ^{4} \theta=\frac{1}{8} \cos 4 \theta+\frac{1}{2} \cos 2 \theta+\frac{3}{8} \end{aligned}
se \theta \neq 0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \ldots.

Passo 1

O enunciado pede para provar três identidades trigonométricas envolvendo as funções de ângulo múltiplo. Vamos usar o Teorema de De Moivre
\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)^{n} = \cos n\theta + i\sin n\theta
para n=5, e depois usar fórmulas de redução de potência para expressar \cos^{4}\theta em funções de ângulo duplo e quádruplo.

Passo 2

Aplicamos De Moivre com n=5 e expandimos pelo binômio de Newton:
(\cos\theta + i\sin\theta)^{5} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} \cos^{5-k}\!\theta\,(i\sin\theta)^{k}.
Os termos de parte real ocorrem quando k é par k=0,2,4. Como i^2=-1 e i^4=1, obtemos
\cos5\theta = \binom{5}{0}\cos^5\theta - \binom{5}{2}\cos^3\theta\,\sin^2\theta + \binom{5}{4}\cos\theta\,\sin^4\theta.
Substituindo \sin^2\theta = 1-\cos^2\theta em cada termo e simplificando chega-se a
\cos5\theta = 16\cos^{5}\theta - 20\cos^{3}\theta + 5\cos\theta.

Passo 3

Analisando a parte imaginária do mesmo desenvolvimento, os termos ocorrem para k ímpar k=1,3,5:
\sin5\theta = \binom{5}{1}\cos^4\theta\,\sin\theta - \binom{5}{3}\cos^2\theta\,\sin^3\theta + \binom{5}{5}\sin^5\theta.
Fatorando \sin\theta e usando \sin^2\theta=1-\cos^2\theta resulta
\sin5\theta = \sin\theta\bigl(16\cos^4\theta - 12\cos^2\theta +1\bigr).
Como \sin\theta\neq0 nas condições dadas, divide-se por \sin\theta e obtém-se
\frac{\sin5\theta}{\sin\theta} = 16\cos^4\theta - 12\cos^2\theta + 1.

Passo 4

Para expressar \cos^4\theta em termos de \cos2\theta e \cos4\theta usamos a fórmula de redução de potência:
\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}.
Logo
\cos^4\theta = \Bigl(\frac{1+\cos2\theta}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}\bigl(1 + 2\cos2\theta + \cos^2 2\theta\bigr).
Em seguida aplicamos de novo
\cos^2 2\theta = \frac{1+\cos4\theta}{2}
e simplificamos, obtendo
\cos^4\theta = \frac{1}{8}\cos4\theta + \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{3}{8}.

Resposta

\cos5\theta = 16\cos^{5}\theta - 20\cos^{3}\theta + 5\cos\theta
\frac{\sin5\theta}{\sin\theta} = 16\cos^{4}\theta - 12\cos^{2}\theta + 1
\cos^{4}\theta = \frac{1}{8}\cos4\theta + \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{3}{8}

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