Prove que são verdadeiras as identidades:
se
.
Passo 1
O enunciado pede para provar três identidades trigonométricas envolvendo as funções de ângulo múltiplo. Vamos usar o Teorema de De Moivre
para
, e depois usar fórmulas de redução de potência para expressar
em funções de ângulo duplo e quádruplo.
Passo 2
Aplicamos De Moivre com
e expandimos pelo binômio de Newton:
Os termos de parte real ocorrem quando
é par
. Como
e
, obtemos
Substituindo
em cada termo e simplificando chega-se a
Passo 3
Analisando a parte imaginária do mesmo desenvolvimento, os termos ocorrem para
ímpar
:
Fatorando
e usando
resulta
Como
nas condições dadas, divide-se por
e obtém-se
Passo 4
Para expressar
em termos de
e
usamos a fórmula de redução de potência:
Logo
Em seguida aplicamos de novo
e simplificamos, obtendo