Determine a função posição x(t) de uma partícula, cuja velocidade é dada por v(t)=3 t^{2}-6 t e x(1)=3.

Passo 1

O enunciado fornece a velocidade \displaystyle v(t)=3t^{2}-6t
e pede a função posição x(t), sabendo que \,x(1)=3.
Para resolver, vamos integrar v(t) em relação a t e depois usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Integramos v(t):
x(t)=\int v(t)\,\mathrm{d}t=\int\bigl(3t^{2}-6t\bigr)\,\mathrm{d}t =t^{3}-3t^{2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição x(1)=3:
1^{3}-3\cdot1^{2}+C=3 \quad\Longrightarrow\quad 1-3+C=3 \quad\Longrightarrow\quad C=5.

Resposta

\displaystyle x(t)=t^{3}-3t^{2}+5

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