Determine a para que a função seja contínua no ponto considerado:
\left\{\begin{array}{lll}\frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{sen} 2 x} & \text { se } & x \neq 0 \\\ \cos a & \text { se } & x=0\end{array}\right. No ponto x=0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{\tan x}{\sin(2x)},&x\neq 0,\\[6pt] \cos a,&x=0, \end{cases}
e pede o valor de a que torna f contínua em x=0. Vamos usar o conceito de limite e exigir
\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=\cos a.]

Passo 2

Para calcular
\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{\sin(2x)}
note que \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} e \sin(2x)=2\sin x\cos x. Substituindo,
\frac{\tan x}{\sin(2x)} =\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{2\sin x\cos x} =\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{2\sin x\cos x} =\frac{1}{2\cos^2 x}.

Passo 3

Agora tiramos o limite quando x\to0:
\lim_{x\to0}\frac{1}{2\cos^2 x} =\frac{1}{2\cos^2(0)} =\frac{1}{2\cdot1^2} =\frac12.

Passo 4

A condição de continuidade em 0 é
\lim_{x\to0}f(x)=f(0),
ou seja
\frac12=\cos a.
Resolvendo \cos a=\tfrac12, temos
a=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

a=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\\ k\in\mathbb{Z}.

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