Determine a para que a função seja contínua no ponto considerado:
\left\{\begin{array}{lll}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{x} & \text { se } & x>0 \\\\ 3 x^{2}-4 x+a & \text { se } & x \leq 0\end{array}\right. No ponto x=0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{x}, & x>0,\\[6pt] 3x^{2}-4x+a, & x\le0, \end{cases}
e pede o valor de a para que f seja contínua em x=0. Para isso, precisamos que
\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=\lim_{x\to0^-}f(x).]

Passo 2

Calculemos o limite pela direita:
\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{x}.
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x+2}+\sqrt{x}:
\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{x}\,\cdot\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}} =\frac{(x+2)-x}{x\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{x}\bigr)} =\frac{2}{x\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{x}\bigr)}.
À medida que x\to0^+, o denominador x(\sqrt{x+2}+\sqrt{x})\to0 com sinal positivo, logo
\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{x}=+\infty.

Passo 3

Pela esquerda, temos
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(3x^{2}-4x+a)=a,
e o valor de f em 0 é
f(0)=3\cdot0^{2}-4\cdot0+a=a.
Para continuidade, precisaríamos de
\lim_{x\to0^+}f(x)=a, mas vimos que esse limite é +\infty, não um número finito.

Resposta

Não existe valor real de a que torne f contínua em x=0.

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