Determine a função do tempo, x(t), para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas:
(g) \frac{s^{2}-s+1}{(s+1)^{2}}, \quad Re {s\}>-1

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
X(s)=\frac{s^{2}-s+1}{(s+1)^{2}}
com região de convergência \Re s>-1.
O conteúdo é decomposição em frações simples e uso das transformadas básicas:
\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1,
\mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\}=\frac{1}{s+a} e
\mathcal{L}\{t\,e^{-at}u(t)\}=\frac{1}{(s+a)^{2}}.

Passo 2

Para facilitar a decomposição, faça a mudança de variável u=s+1. Então
s = u-1 \qquad\text{e}\qquad s^{2}-s+1 = (u-1)^{2} - (u-1) + 1 = u^{2}-3u+3.
Assim
X(s) =\frac{u^{2}-3u+3}{u^{2}} =1 \;-\;\frac{3}{u} \;+\;\frac{3}{u^{2}} \;=\;1 \;-\;\frac{3}{s+1} \;+\;\frac{3}{(s+1)^{2}}.

Passo 3

Escrevemos então
X(s) =1 \;-\;3\frac{1}{s+1} \;+\;3\frac{1}{(s+1)^{2}}.
Cada parcela corresponde a uma transformada conhecida:
  1. 1 é \mathcal{L}\{\delta(t)\}.
  2. \frac{1}{s+1} é \mathcal{L}\{e^{-t}u(t)\}.
  3. \frac{1}{(s+1)^{2}} é \mathcal{L}\{t\,e^{-t}u(t)\}.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa termo a termo, com a condição de causalidade ( u(t)), obtemos
x(t) =\delta(t) \;-\;3\,e^{-t}u(t) \;+\;3\,t\,e^{-t}u(t).
Podemos agrupar os termos exponenciais se preferir.

Resposta

x(t)=\delta(t)\;-\;3e^{-t}u(t)\;+\;3\,t\,e^{-t}u(t),
com região de convergência \Re s>-1.

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