Determine a função de transferência para cada um dos sistemas.
2 \frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+\frac{d y(t)}{d t}+5 y(t)=u(t)+2 u(t-1)

Passo 1

O enunciado dá o sistema descrito pela equação diferencial
2 \frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}} + \frac{d y(t)}{d t} + 5\,y(t) = u(t) + 2\,u(t-1)
e pede a função de transferência G(s)=Y(s)/U(s). Vamos usar transformada de Laplace (com condições iniciais nulas) e a propriedade de atraso u(t-\tau)\xrightarrow{\mathcal{L}}e^{-s\tau}U(s).

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace e anulando condições iniciais, cada termo se torna:
2 s^{2}Y(s) + s\,Y(s) +5\,Y(s) =\;U(s) + 2\,e^{-s}U(s).

Passo 3

Fatorando Y(s) e U(s):
Y(s)\bigl(2s^{2} + s +5\bigr)=U(s)\bigl(1 + 2e^{-s}\bigr).
Logo, a função de transferência é
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} =\frac{1 + 2e^{-s}}{2s^{2} + s + 5}.

Resposta

G(s)=\frac{1 + 2e^{-s}}{2s^{2} + s + 5}.

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