Determine a transformada de Laplace inversa dos sinais definidos nos itens a seguir .
U(s)=\frac{10(s+2)}{s(s+1)\left(s^{2}+2 s+2\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
U(s)=\frac{10(s+2)}{s\,(s+1)\bigl(s^{2}+2s+2\bigr)}.
Para resolver precisamos usar frações parciais e, em seguida, aplicar transformadas inversas conhecidas, como
\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}, \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\} e \mathcal{L}^{-1}\{1/((s+a)^2+b^2)\}.

Passo 2

Propomos a decomposição em frações parciais
U(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C\,s+D}{s^{2}+2s+2}.
Multiplicando ambos os lados por s\,(s+1)(s^2+2s+2) obtemos
10\,(s+2)=A\,(s+1)(s^2+2s+2)+B\,s\,(s^2+2s+2)+(C\,s+D)\,s\,(s+1).
Expandindo e agrupando termos em potências de s gera o sistema
\begin{cases} A+B+C=0,\\\\ 3A+2B+C+D=0,\\\\ 4A+2B+D=10,\\\\ 2A=20. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema:
2A=20\quad\Rightarrow\quad A=10.
Substituindo em 4A+2B+D=10
40+2B+D=10\quad\Rightarrow\quad 2B+D=-30.
Em 3A+2B+C+D=0 temos
30+2B+C+D=0\quad\Rightarrow\quad 2B+C+D=-30.
E em A+B+C=0 vem
10+B+C=0\quad\Rightarrow\quad B+C=-10.
Subtraindo as duas últimas equações aparece C=0. Então B=-10 e D=-30-2B=-10.

Passo 4

A decomposição ficou
U(s)=\frac{10}{s}-\frac{10}{s+1}-\frac{10}{s^2+2s+2}.
Como
s^2+2s+2=(s+1)^2+1,
aplicamos inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{10}{s}\Bigr\}=10, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\frac{10}{s+1}\Bigr\}=-10\,e^{-t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\frac{10}{(s+1)^2+1}\Bigr\}=-10\,e^{-t}\sin t.
Somando,
u(t)=10-10\,e^{-t}-10\,e^{-t}\sin t.

Resposta

u(t)=10-10\,e^{-t}\bigl(1+\sin t\bigr).

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