Determine (i) a função de transferência e (ii) a resposta ao impulso dos sistemas descritos pelas seguintes equações a diferenças:
c)
c)
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão tá pedindo:
– Conteúdo: sistemas LTI em tempo discreto, transformada Z, função de transferência e resposta ao impulso.
– O que precisamos:
– Conteúdo: sistemas LTI em tempo discreto, transformada Z, função de transferência e resposta ao impulso.
– O que precisamos:
- Fazer a transformada Z na equação a diferenças (assumindo condições iniciais zero).
- Achar H(z)=Y(z)/X(z).
- Decompor em frações parciais pra inverter a transformada Z e obter h[n].
Passo 2
Escrevendo a equação a diferenças e aplicando a transformada Z (com y[n]=0 e x[n]=0 para n<0):
Transformando cada termo:
- Z{y[n+2]}=z^2Y(z)
- Z{y[n+1]}=zY(z)
- Z{y[n]}=Y(z)
- Z{x[n+2]}=z^2X(z)
- Z{x[n+1]}=zX(z)
Logo:
Passo 3
Juntando em fator comum:
Então a função de transferência é
Passo 4
Para achar h[n], é mais fácil trabalhar com potências de z⁻¹. Divide numerador e denominador por z²:
Agora fatoramos o denominador em (1–3/4 z⁻¹)(1+1/2 z⁻¹), pois as raízes são z⁻¹=3/4 e z⁻¹=–1/2.
Fazendo frações parciais:
Multiplicando tudo pelo denominador comum e igualando coeficientes de z⁰ e z⁻¹ dá o sistema
A+B=–1
Resolvendo, obtemos A=1 e B=–2.
A+B=–1
Resolvendo, obtemos A=1 e B=–2.
Passo 5
Então
Sabendo que
Z^{-1}{1/(1–αz⁻¹)}=α^n u[n],
temos
Resposta
(i) H(z)=\displaystyle\frac{-z2+2z}{,z2-\tfrac14z-\tfrac38,}
(ii) h[n]=\bigl(\tfrac34\bigr)^n u[n];-;2\bigl(-\tfrac12\bigr)^n u[n].
(ii) h[n]=\bigl(\tfrac34\bigr)^n u[n];-;2\bigl(-\tfrac12\bigr)^n u[n].