Determine (i) a função de transferência e (ii) a resposta ao impulso dos sistemas descritos pelas seguintes equações a diferenças:
c) y[n+2]-14 y[n+1]-38 y[n]=-x[n+2]+2 x[n+1]

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão tá pedindo:
– Conteúdo: sistemas LTI em tempo discreto, transformada Z, função de transferência e resposta ao impulso.
– O que precisamos:
  1. Fazer a transformada Z na equação a diferenças (assumindo condições iniciais zero).
  2. Achar H(z)=Y(z)/X(z).
  3. Decompor em frações parciais pra inverter a transformada Z e obter h[n].

Passo 2

Escrevendo a equação a diferenças e aplicando a transformada Z (com y[n]=0 e x[n]=0 para n<0):
y[n+2]-tfrac14,y[n+1]-tfrac38,y[n];=;-x[n+2]+2,x[n+1]
Transformando cada termo:
- Z{y[n+2]}=z^2Y(z)
- Z{y[n+1]}=zY(z)
- Z{y[n]}=Y(z)
- Z{x[n+2]}=z^2X(z)
- Z{x[n+1]}=zX(z)
Logo:
z^2Y(z)-tfrac14,zY(z)-tfrac38,Y(z);=;-,z^2X(z)+2,zX(z)

Passo 3

Juntando em fator comum:
l(z^2-tfrac14z-tfrac38r)Y(z)=l(-z^2+2zr)X(z)
Então a função de transferência é
H(z)=Y(z)X(z)=-z^2+2z,z^2-tfrac14z-tfrac38,

Passo 4

Para achar h[n], é mais fácil trabalhar com potências de z⁻¹. Divide numerador e denominador por z²:
H(z)=-1+2z^-1,1-tfrac14z^-1-tfrac38z^-2,
Agora fatoramos o denominador em (1–3/4 z⁻¹)(1+1/2 z⁻¹), pois as raízes são z⁻¹=3/4 e z⁻¹=–1/2.
Fazendo frações parciais:
H(z)=A1-tfrac34z^-1+B1+tfrac12z^-1
Multiplicando tudo pelo denominador comum e igualando coeficientes de z⁰ e z⁻¹ dá o sistema
A+B=–1

Resolvendo, obtemos A=1 e B=–2.

Passo 5

Então
H(z)=11-tfrac34z^-1-21+tfrac12z^-1
Sabendo que
Z^{-1}{1/(1–αz⁻¹)}=α^n u[n],
temos

Resposta

(i) H(z)=\displaystyle\frac{-z2+2z}{,z2-\tfrac14z-\tfrac38,}
(ii) h[n]=\bigl(\tfrac34\bigr)^n u[n];-;2\bigl(-\tfrac12\bigr)^n u[n].

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