Determine
solução das equações:
a)
a)
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente achar a sequência
que satisfaz a equação de recorrência
com as condições iniciais
e
.
Conteúdo: recorrência linear homogênea de segunda ordem.
O que vamos precisar:
Conteúdo: recorrência linear homogênea de segunda ordem.
O que vamos precisar:
- Montar a “equação característica”;
- Encontrar as raízes dela;
- Escrever a solução geral como combinação linear das raízes;
- Usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, a gente supõe que existe uma solução do tipo
Isso é um chute padrão em recorrência homogênea: se funcionasse para algum número
, a gente descobre quais
servem.
Passo 3
Substituindo
na recorrência
fica
Como
(isso daria sequência toda zero, que não bate com as condições iniciais), dividimos por
e obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a característica
Como temos duas raízes distintas, a solução geral da recorrência é
onde
e
são constantes que a gente ainda vai achar pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora empregamos as condições iniciais:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Então temos o sistema
Dividindo a segunda linha por 3:
Somando as duas equações:
E daí
.