Determine y[n] solução das equações:
a) y[n+2]-9 y[n]=0, y[0]=11, y[1]=-27

Passo 1

Beleza! O exercício pede para a gente achar a sequência y[n+2] - 9,y[n] = 0 que satisfaz a equação de recorrência
com as condições iniciais e .
Conteúdo: recorrência linear homogênea de segunda ordem.
O que vamos precisar:
  • Montar a “equação característica”;
  • Encontrar as raízes dela;
  • Escrever a solução geral como combinação linear das raízes;
  • Usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, a gente supõe que existe uma solução do tipo
y[n] = r^n
Isso é um chute padrão em recorrência homogênea: se funcionasse para algum número , a gente descobre quais servem.

Passo 3

Substituindo y[n+2] - 9,y[n] = 0 na recorrência
r^n+2 ;-; 9,r^n ;=; 0
fica
r^2 - 9 = 0
Como (isso daria sequência toda zero, que não bate com as condições iniciais), dividimos por e obtemos a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a característica
r^2 - 9 = 0 Longrightarrow r^2 = 9 Longrightarrow r = 3 ou r = -3
Como temos duas raízes distintas, a solução geral da recorrência é
y[n] = Acdot 3^n ;+; Bcdot(-3)^n,
onde e são constantes que a gente ainda vai achar pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora empregamos as condições iniciais:
  1. Para y[0] = Acdot3^0 + Bcdot(-3)^0 = A + B = 11 :
y[1] = Acdot3^1 + Bcdot(-3)^1 = 3A - 3B = -27
  1. Para :

Passo 6

Então temos o sistema
A + B = 11, 3A - 3B = -27
Dividindo a segunda linha por 3:
A - B = -9
Somando as duas equações:
(A + B) + (A - B) = 11 + (-9) Longrightarrow 2A = 2 Longrightarrow A = 1
E daí .

Resposta

boxedy[n] = 1cdot 3^n + 10cdot(-3)^n

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