Determine a Transformada
inversa para as funções e regiões dadas a seguir:
g)
g)
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado pede pra encontrar a transformada inversa de Z de
com região de convergência
Conteúdo: transformada inversa de Z, expansão em frações parciais e séries de potências.
O que a gente vai usar:
O que a gente vai usar:
- fatorar o denominador pra encontrar polos;
- fazer frações parciais;
- escolher a expansão certa (em
ou em ) conforme o ROC; - usar tabelas básicas de transformada Z inversa.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador:
Logo
Como as duas partes (numerador e denominador) têm mesmo grau, fazemos uma divisão polinomial rápida:
Então
Passo 3
Agora separamos a fração remanescente em parciais:
Multiplicando tudo por
dá
Igualando coeficientes de
e termo constante:
Resolvendo, achamos
Portanto
Passo 4
Hora de escolher como expandir cada termo, olhando o ROC
.
- Polo em
: para a gente usa expansão em .
Isso corresponde a
- Polo em
: para expandimos em .
Como
, isso dá
- E o “1” solto é simplesmente
Resposta
Juntando tudo, a sequência
(que é bilateral) é
Onde
liga para
e
liga para
.