Determine a Transformada Z inversa para as funções e regiões dadas a seguir:
g) X(z)=z^2-3 zz^2+32 z-1, 0.5<|z|<2

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede pra encontrar a transformada inversa de Z de
0.5 < |z| < 2 com região de convergência
Conteúdo: transformada inversa de Z, expansão em frações parciais e séries de potências.
O que a gente vai usar:
  1. fatorar o denominador pra encontrar polos;
  2. fazer frações parciais;
  3. escolher a expansão certa (em ou em ) conforme o ROC;
  4. usar tabelas básicas de transformada Z inversa.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
z^2 + tfrac32 z - 1 = (z - 0,5),(z + 2)
Logo
X(z)=z^2-3z(z-0.5)(z+2)
Como as duas partes (numerador e denominador) têm mesmo grau, fazemos uma divisão polinomial rápida:
z^2-3zz^2+1.5z-1 = 1 + (z^2-3z)-(z^2+1.5z-1)z^2+1.5z-1 =1 + 1 - 4.5z(z-0.5)(z+2)
Então
X(z)=1 + 1-4.5z(z-0.5)(z+2)

Passo 3

Agora separamos a fração remanescente em parciais:
1-4.5z(z-0.5)(z+2) =Az-0.5+Bz+2
Multiplicando tudo por 1 - 4,5z = A(z+2) + B(z-0.5)
A + B = -4.5, 2A - 0.5B = 1
Igualando coeficientes de A = -0.5, B = -4 e termo constante:
X(z)=1 ;-;0.5z-0.5;-;4z+2
Resolvendo, achamos
Portanto

Passo 4

Hora de escolher como expandir cada termo, olhando o ROC -0.5z-0.5 =-0.5;1z,(1-0.5,z^-1) =-0.5,z^-1sumk=0^infty(0.5,z^-1)^k =sumn=1^inftyl[-(0.5)^nr],z^-n .
  1. Polo em x1[n] = -,(0.5)^n,, n>=1; 0 caso contrário : para -4z+2 =-42,(1+z/2) =-2sumk=0^infty(-1)^kl( z2r)^k =sumk=0^inftyl[-2(-tfrac12)^kr],z^k a gente usa expansão em x2[n] = -2,(-tfrac12)^-n, n<=0; 0 caso contrário .
x3[n] = de
Isso corresponde a
á
  1. Polo em : para expandimos em .
Como , isso dá
á
  1. E o “1” solto é simplesmente

Resposta

Juntando tudo, a sequência boxed x[n] =de (que é bilateral) é
Onde liga para e liga para .

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