A sequência x[n] tem transformada Z dada por
X(z)=9(z-0.5)^2(z+0.5)^3, |z|>0.5
Determine:
e) x[5]

Passo 1

O enunciado diz que a sequência causal X(z)=9(z-0.5)^2,(z+0.5)^3, |z|>0.5, tem transformada
e pede para determinar .
Conteúdo: transformada z e séries em potências de .
O que precisamos:
  • Saber que a inversa da Z-transformada é pegar o coeficiente de na expansão em série de potências em .
  • Expandir cada fator em série (para , usamos potências de ).
  • Fazer a “convolução” dos coeficientes para achar o termo de .

Passo 2

Vamos lembrar duas séries padrões (válidas para ):

  1. Aqui e .

Passo 3

Escrevendo cada fator:
1(z-0.5)^2 = z^-2summ=0^infty(m+1),(0.5)^mz^-m Longrightarrow am=(m+1)(0.5)^m
1(z+0.5)^3 = z^-3sump=0^infty(p+1)(p+2)2,(-0.5)^pz^-p Longrightarrow bp=(p+1)(p+2)2(-0.5)^p

Passo 4

Quando a gente multiplica as duas séries para formar X(z) =9;1(z-0.5)^2;1(z+0.5)^3 =9,z^-5sumn=0^inftyl[summ+p=nam,bpr]z^-n , fica
x[k] =9summ+p=k-5am,bp, k>=5,
Isso significa que
a0=(0+1)(0.5)^0=1, b0=(0+1)(0+2)2(-0.5)^0=22=1
e x[5] =9cdot a0cdot b0 =9cdot1cdot1 =9 para .
Para temos , logo só o par contribui:
Então

Resposta

boxedx[5]=9

Exercícios relacionados