Sabendo que os pólos de um determinado sistema de segunda ordem são -3+\mathrm{j} 7 e -3-\mathrm{j} 7, determine os seguintes parâmetros: \zeta, \omega_{n}, \mathrm{t}_{\mathrm{p}}, \mathrm{M}_{\mathrm{p}} \mathrm{e} \mathrm{t}_{\mathrm{s}}.

Passo 1

O enunciado dá os polos do sistema de segunda ordem e pede vários parâmetros. Dados e perguntas (tudo que temos do enunciado):
  • Polos: -3+\mathrm{j}7 e -3-\mathrm{j}7. Portanto a parte real é -3 e a parte imaginária tem magnitude 7.
  • Perguntas: determinar \zeta (razão de amortecimento), \omega_{n} (frequência natural não amortecida), t_{p} (tempo do primeiro pico), M_{p} (sobressinal máximo) e t_{s} (tempo de assentamento).

Passo 2

Vamos relacionar os parâmetros com os polos de um sistema de segunda ordem. Para um sistema subamortecido, os polos complexos conjugados têm a forma
s = -\zeta\omega_{n} \pm \mathrm{j}\,\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • \zeta é a razão de amortecimento (sem unidade), mede quanto o sistema é amortecido.
  • \omega_{n} é a frequência natural não amortecida (em rad/s).
  • \omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}} é a frequência amortecida (a parte imaginária dos polos).
    A partir disso podemos mapear com os dados do enunciado:
  • a parte real do polo é -\zeta\omega_{n} = -3, logo
\zeta\omega_{n} = 3.
  • a parte imaginária tem magnitude \omega_{d}=7, logo
\omega_{d}=7.

Passo 3

Calcular \omega_{n} usando a relação entre \omega_{n},\zeta\omega_{n} e \omega_{d}. Usamos o triângulo:
\omega_{n} = \sqrt{(\zeta\omega_{n})^{2} + \omega_{d}^{2}}.
Substituindo os valores conhecidos \zeta\omega_{n}=3 e \omega_{d}=7:
\omega_{n} = \sqrt{3^{2}+7^{2}} = \sqrt{9+49} = \sqrt{58}.
Valor numérico aproximado:
\omega_{n} \approx 7,6158\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Agora calculamos \zeta. Como já temos \zeta\omega_{n}=3 e \omega_{n}=\sqrt{58},
\zeta = \frac{3}{\omega_{n}} = \frac{3}{\sqrt{58}}.
Valor numérico aproximado:
\zeta \approx 0,3939.
Comentário prático: isso significa amortecimento moderado (nem muito forte, nem quase sem amortecimento).

Passo 5

Verificação e expressão para \omega_{d}. Pela fórmula
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Substituindo \omega_{n}=\sqrt{58} e \zeta=3/\sqrt{58} temos
\sqrt{1-\zeta^{2}}=\sqrt{1-\frac{9}{58}}=\sqrt{\frac{49}{58}}=\frac{7}{\sqrt{58}},
portanto
\omega_{d}=\sqrt{58}\cdot\frac{7}{\sqrt{58}}=7,
o que confirma a parte imaginária dada — bom sinal de consistência.

Passo 6

Calcular o tempo do primeiro pico t_{p}. Fórmula padrão para resposta ao degrau de um sistema subamortecido:
t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}}.
Como \omega_{d}=7,
t_{p}=\frac{\pi}{7}.
Valor numérico aproximado:
t_{p}\approx 0,4488\\ \text{s}.
Breve intuição: o primeiro pico aparece quando a fase do componente sinusoidal atingiu \pi, daí o fator \pi/\omega_{d}.

Passo 7

Calcular o sobressinal máximo M_{p}. A fórmula padrão (fração do valor final, não em %) é
M_{p} = \exp\!\left(-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\right).
Aqui observe uma simplificação útil: já vimos que \zeta=3/\sqrt{58} e \sqrt{1-\zeta^{2}}=7/\sqrt{58}, portanto
\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} = \frac{3/\sqrt{58}}{7/\sqrt{58}} = \frac{3}{7}.
Logo
M_{p} = \exp\!\left(-\pi\cdot\frac{3}{7}\right)=\exp\!\left(-\frac{3\pi}{7}\right).
Valor numérico:
M_{p}\approx 0,2600 \quad\text{(ou seja, }26,00\%\text{)}.
Interpretação: a resposta ultrapassa o valor final em cerca de 26\% no primeiro máximo.

Passo 8

Calcular o tempo de assentamento t_{s}. Primeiro explico o critério usual: o tempo de assentamento depende da tolerância escolhida (comum usar 2% ou 5%). Para a regra prática de 2\% costuma-se usar
t_{s}\approx \frac{4}{\zeta\omega_{n}},
enquanto para 5\% usa-se aproximadamente \displaystyle t_{s}\approx\frac{3}{\zeta\omega_{n}}. Aqui sabemos que \zeta\omega_{n}=3 (visto no Passo 2), portanto:
  • Para 2\%:
t_{s}\approx \frac{4}{3} \approx 1,3333\\ \text{s}.
  • Para 5\%:
t_{s}\approx \frac{3}{3} = 1,0000\\ \text{s}.
Se o enunciado não especifica, o valor mais usado é o do critério 2\%, ou seja t_{s}\approx 1,3333\\ \text{s}.

Resposta

\zeta = \dfrac{3}{\sqrt{58}} \approx 0,3939
\omega_{n} = \sqrt{58} \approx 7,6158\\ \text{rad/s}
t_{p} = \dfrac{\pi}{7} \approx 0,4488\\ \text{s}
M_{p} = \exp\!\left(-\dfrac{3\pi}{7}\right) \approx 0,2600 (ou 26{,}00\%)
t_{s}\\ (2\%\\ \text{critério}) \approx \dfrac{4}{\zeta\omega_{n}} = \dfrac{4}{3} \approx 1,3333\\ \text{s}é

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