Sabendo que os pólos de um determinado sistema de segunda ordem são
e
, determine os seguintes parâmetros:
.
Passo 1
O enunciado dá os polos do sistema de segunda ordem e pede vários parâmetros. Dados e perguntas (tudo que temos do enunciado):
- Polos:
e . Portanto a parte real é e a parte imaginária tem magnitude . - Perguntas: determinar
(razão de amortecimento), (frequência natural não amortecida), (tempo do primeiro pico), (sobressinal máximo) e (tempo de assentamento).
Passo 2
Vamos relacionar os parâmetros com os polos de um sistema de segunda ordem. Para um sistema subamortecido, os polos complexos conjugados têm a forma
Explicando cada símbolo:
-
é a razão de amortecimento (sem unidade), mede quanto o sistema é amortecido. -
é a frequência natural não amortecida (em rad/s). -
é a frequência amortecida (a parte imaginária dos polos).
A partir disso podemos mapear com os dados do enunciado: - a parte real do polo é
, logo
- a parte imaginária tem magnitude
, logo
Passo 3
Calcular
usando a relação entre
e
. Usamos o triângulo:
Substituindo os valores conhecidos
e
:
Valor numérico aproximado:
Passo 4
Agora calculamos
. Como já temos
e
,
Valor numérico aproximado:
Comentário prático: isso significa amortecimento moderado (nem muito forte, nem quase sem amortecimento).
Passo 5
Verificação e expressão para
. Pela fórmula
Substituindo
e
temos
portanto
o que confirma a parte imaginária dada — bom sinal de consistência.
Passo 6
Calcular o tempo do primeiro pico
. Fórmula padrão para resposta ao degrau de um sistema subamortecido:
Como
,
Valor numérico aproximado:
Breve intuição: o primeiro pico aparece quando a fase do componente sinusoidal atingiu
, daí o fator
.
Passo 7
Calcular o sobressinal máximo
. A fórmula padrão (fração do valor final, não em %) é
Aqui observe uma simplificação útil: já vimos que
e
, portanto
Logo
Valor numérico:
Interpretação: a resposta ultrapassa o valor final em cerca de
no primeiro máximo.
Passo 8
Calcular o tempo de assentamento
. Primeiro explico o critério usual: o tempo de assentamento depende da tolerância escolhida (comum usar 2% ou 5%). Para a regra prática de
costuma-se usar
enquanto para
usa-se aproximadamente
. Aqui sabemos que
(visto no Passo 2), portanto:
- Para
:
- Para
:
Se o enunciado não especifica, o valor mais usado é o do critério
, ou seja
.