Determine a função de transferência dos sistemas cujas equações diferenciais são: dddotx+6 ddotx+5 dotx=u(t) u(t)=K(doty+y)

Passo 1

Beleza, o enunciado tá assim: a gente tem um “plantão” dado por
dddot x(t) + 6,ddot x(t) + 5,dot x(t) = u(t)
e ainda dizem que
u(t) = Kl(dot y(t) + y(t)r)
O tema é função de transferência, e pra isso vamos usar a transformada de Laplace e as propriedades de derivada em Laplace.
O que vamos precisar:
  • Saber que, em Laplace, e etc.
  • Entender que a função de transferência é a relação entre saída e entrada em -domínio.
A partir do próximo passo, partimos pra resolução de fato!

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o plantão em domínio de Laplace. Definindo e , temos:
Então a equação vira
Laplacedddot x + 6,Laplaceddot x + 5,Laplacedot x = s^3X(s) + 6,s^2X(s) + 5,s,X(s)

Passo 3

Isolando a relação entre X(s)U(s) ;=; 1s^3 + 6s^2 + 5s e , a gente obtém a função de transferência do plantão puro (antes de considerar o controlador):

Passo 4

Agora vamos olhar a segunda equação, que é o controlador:
u(t) = Kl(dot y(t) + y(t)r)
Transformando em Laplace, com :
U(s) = Kl(sY(s) + Y(s)r) = K,(s+1),Y(s)

Passo 5

Pra achar a função de transferência do sistema completo (do sinal X(s) ;=; 1s^3+6s^2+5s;U(s) ;=; 1s^3+6s^2+5s;l[K(s+1),Y(s)r] de entrada até X(s)Y(s) ;=; K,(s+1)s^3 + 6s^2 + 5s de saída), a gente substitui do passo 4 na relação do passo 3:
Isso dá

Resposta

boxedX(s)Y(s) ;=; K,(s+1)s^3 ;+; 6s^2 ;+; 5s

Exercícios relacionados