A equações diferencial apresentada a seguir descreve o comportamento dinâmico de um sistema linear cuja entrada é u(t) e a saída é y(t). Determine a função de transferência de e identifique os polos e os zeros. d^3 yd t^3+3 d^2 yd t^2+4 d yd t+2 y(t)=2 d ud t+u(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma equação diferencial que relaciona a saída y(t) e a entrada u(t):
d^3 yd t^3 + 3,d^2 yd t^2 + 4,d yd t + 2,y(t) ;=; 2,d ud t + u(t)
O que a gente quer é a função de transferência, ou seja, no domínio de Laplace, assumindo condições iniciais nulas. Depois, a gente identifica polos (raízes do denominador) e zeros (raízes do numerador). Para isso, vamos usar:
  1. Transformada de Laplace de derivadas ( etc).
  2. Álcool (brincadeira) e papel (mas, falando sério, método de divisão polinomial ou fórmula de Bhaskara pra achar raízes).

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace nas duas partes da equação, lembrando que as condições iniciais são zero:
  • .
  • .
    Então:
s^3 Y(s) + 3,s^2 Y(s) + 4,s,Y(s) + 2,Y(s) ;=; 2l(s,U(s)r) + U(s)
Agora fatoramos Y(s),l(s^3 + 3s^2 + 4s + 2r) ;=; U(s),l(2s + 1r) e G(s)=Y(s)U(s) =2s+1s^3 + 3s^2 + 4s + 2 :
Logo, a função de transferência é

Passo 3

Agora, zeros são onde 2s + 1 = 0 ;;Rightarrow;; s = -tfrac12 , e polos são onde (-1)^3 + 3(-1)^2 + 4(-1) + 2 = -1 + 3 - 4 + 2 = 0, .
  1. Zero:
s^3+3s^2+4s+2 = (s+1)(s^2 + 2s +2)
  1. Polos: resolver s = -2 pm raiz4 - 82 = -1 pm j1 . Testando :
então é raiz. Fazendo divisão sintética por , sobra um quadrático:
As raízes de são

Resposta

Função de transferência:
boxedG(s)=2s+1s^3 + 3s^2 + 4s + 2
Zeros: .
Polos:

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