A equações diferencial apresentada a seguir descreve o comportamento dinâmico de um sistema linear cuja entrada é
e a saída é
. Determine a função de transferência de e identifique os polos e os zeros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma equação diferencial que relaciona a saída y(t) e a entrada u(t):
O que a gente quer é a função de transferência, ou seja,
no domínio de Laplace, assumindo condições iniciais nulas. Depois, a gente identifica polos (raízes do denominador) e zeros (raízes do numerador). Para isso, vamos usar:
- Transformada de Laplace de derivadas ( etc).
- Álcool (brincadeira) e papel (mas, falando sério, método de divisão polinomial ou fórmula de Bhaskara pra achar raízes).
Passo 2
Aplicar a transformada de Laplace nas duas partes da equação, lembrando que as condições iniciais são zero:
- .
- .
Então:
Agora fatoramos
e
:
Logo, a função de transferência é
Passo 3
Agora, zeros são onde
, e polos são onde
.
- Zero:
- Polos: resolver
. Testando :
então
é raiz. Fazendo divisão sintética por
, sobra um quadrático:
As raízes de
são
Resposta
Função de transferência:
Zeros:
.
Polos:
Polos: