Determine a função de transferência dos sistemas cujas equações diferenciais são: dddotx+5 ddotx+20 dotx=u(t) u(t)=K(doty+y)

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um sistema descrito por
dddotx(t) + 5,ddotx(t) + 20,dotx(t) ;=; u(t)
e ainda define
u(t) = Kl(doty(t) + y(t)r)
O que queremos é a função de transferência que relaciona a saída x(t) com a entrada y(t).
Conteúdo que vamos usar:
  • Transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas).
  • Montar a relação em s e isolar X(s)Y(s).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace à equação diferencial do sistema:
Ldddotx(t) + 5,Lddotx(t) + 20,Ldotx(t) = Lu(t)
Como estamos assumindo x(0)=dotx(0)=ddotx(0)=0, fica:
s^3 X(s) + 5,s^2 X(s) + 20,s,X(s) ;=; U(s)
Agrupando:
(s^3 + 5s^2 + 20s),X(s) = U(s)

Passo 3

Agora transformamos u(t)=Kl(dot y(t)+y(t)r):
U(s) = Kl(sY(s) + Y(s)r) = K,(s+1),Y(s)

Passo 4

Substituindo U(s) na equação de X(s):
(s^3 + 5s^2 + 20s),X(s) = K,(s+1),Y(s)
Para achar a função de transferência de y para x, isolamos X(s)Y(s):
X(s)Y(s) = K,(s+1)s^3 + 5s^2 + 20s
E, se quiser, dá pra fatorar um s:
s^3 + 5s^2 + 20s = s,(s^2 + 5s + 20)

Resposta

boxed X(s)Y(s) ;=; K,(s+1)s,(s^2 + 5s + 20)

Exercícios relacionados