Determine uma função varphi tal que F=nabla varphi e use-a para calcular a integral de linha de F sobre a curva gamma dada:
F(x, y)=(x^2, y^2), gamma é o arco de parábola y=x^2 de (-1,2) até (2,8) .

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
F(x,y) = (P(x,y),Q(x,y)) = (x^2,y^2)
e pede a integral de linha sobre a curva gamma (arco da parábola y=x^2) de (-1,2) até (2,8).
Conteúdo: campos conservativos e funções potenciais. Vamos mostrar que F é conservativo e determinar varphi tal que nablavarphi = F.

Passo 2

Para achar varphi(x,y), usamos
partial varphipartial x = P(x,y) = x^2
Integrando em relação a x,
varphi(x,y) = integral x^2,dx = x^33 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 3

Como também devemos ter
partial varphipartial y = Q(x,y) = y^2,
calculamos
partial varphipartial y = ddyl(x^33 + h(y)r) = h'(y)
e igualamos a y^2. Logo,
h'(y) = y^2 Longrightarrow h(y) = integral y^2,dy = y^33 + C
Podemos tomar a constante C=0. Assim,
varphi(x,y) = x^33 + y^33

Passo 4

Como F é conservativo, a integral de linha depende só dos pontos finais:
integralgamma Fcdot dr = varphil(2,8r) - varphil(-1,2r)
Calculemos:
varphi(2,8) = 2^33 + 8^33 = 83 + 5123 = 5203,
varphi(-1,2) = (-1)^33 + 2^33 = -13 + 83 = 73
Portanto,
integralgamma Fcdot dr = 5203 - 73 = 5133 = 171

Resposta

A função potencial é
varphi(x,y) = x^33 + y^33
e a integral de linha vale 171.

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