Determine uma função
tal que
e use-a para calcular a integral de linha de
sobre a curva
dada:
,
é o arco de parábola
de
até
.
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
e pede a integral de linha sobre a curva (arco da parábola
) de
até
.
Conteúdo: campos conservativos e funções potenciais. Vamos mostrar que é conservativo e determinar
tal que
.
e pede a integral de linha sobre a curva
Conteúdo: campos conservativos e funções potenciais. Vamos mostrar que
Passo 2
Para achar
, usamos
Integrando em relação a
,
onde
é uma função a determinar.
Passo 3
Como também devemos ter
calculamos
e igualamos a
. Logo,
Podemos tomar a constante
. Assim,
Passo 4
Como
é conservativo, a integral de linha depende só dos pontos finais:
Calculemos:
Portanto,
Resposta
A função potencial é
e a integral de linha vale
.