Classique cada EDO abaixo quanto à ordem e linearidade. Decida se as relações dadas definem soluções para a mesma.
y^prime=2 x sec (x+y)-1 ; x^2-sen(x+y)=1.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
y' = 2x,sec(x+y) - 1
e a relação implícita
x^2 - sen(x+y) = 1
Precisamos (i) classificar cada uma quanto à ordem e linearidade e (ii) verificar se a segunda define uma solução para a primeira.

Passo 2

Classificação de ,y' = 2x,sec(x+y) - 1:
  • Ordem: aparece apenas a derivada primeira y', logo é de primeira ordem.
  • Linearidade: não se pode escrever na forma y' + p(x),y = q(x) porque o termo sec(x+y) mistura y de modo não linear. Portanto é não linear.

Passo 3

Classificação de ,x^2 - sen(x+y) = 1:
  • Não há derivadas, é uma equação diferencial de ordem zero (equação algébrica).
  • Nonlinearidade: há sen(x+y), que é não linear em y.

Passo 4

Verificação de que x^2 - sen(x+y)=1 resolve a ODE de passo 2:
Diferenciando ambos os lados em relação a x:
ddxl(x^2 - sen(x+y)r) = ddx(1) Longrightarrow 2x - cos(x+y),(1 + y') = 0
Desse modo
cos(x+y),(1+y') = 2x Longrightarrow 1 + y' = 2xcos(x+y) Longrightarrow y' = 2x,sec(x+y) - 1,
que é exatamente a ODE dada. Logo a relação implícita define solução da ODE.

Resposta

A equação y' = 2xsec(x+y)-1 é de 1ª ordem e não linear.
A equação x^2 - sen(x+y)=1 é de ordem zero e não linear.
A relação x^2 - sen(x+y)=1 satisfaz a ODE de primeira ordem.

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